сотрудник
сотрудник
ВАК 05.17.00 Химическая технология
ВАК 05.23.00 Строительство и архитектура
УДК 69 Строительство. Строительные материалы. Строительно-монтажные работы
Описан способ координации двух траекторий грузовой тележки мостового крана и подвижной точки подвеса груза по критерию минимального отклонения между точками, двигающимися по двум траекториям при выполнении условия гашения маятниковых пространственных колебаний груза. В режиме гашения колебаний точка подвеса груза должна двигаться по криволинейной траектории, синтезированной по заданной сигмоидальной траектории перемещения груза при помощи пропорционально-интегрально-дифференциальных регуляторов. Электрический привод моста и грузовой тележки мостового крана с релейным управлением не позволяет обеспечить движение моста и грузовой тележки крана, а следовательно, верхней точки маятниковой системы свободного канатного подвеса груза, по траектории, необходимой для гашения колебаний. Возможно лишь максимальное приближение траектории грузовой тележки к требуемой для гашения колебаний траектории подвижной точки подвеса груза. Окончательно решить проблему может применение гидравлического привода, перемещающего точку подвеса груза относительно грузовой тележки и реализующего таким образом требуемую для гашения колебаний траекторию. Показано, что оптимизация позволяет в несколько раз уменьшить хода штоков и размеры гидроцилиндров, используемых для быстрого перемещения точки подвеса груза и устранения его неуправляемых пространственных маятниковых колебаний.
мостовой кран, ПИД-регулирование, сигмоидальная, траектория, гашение колебаний, груз
Введение. Груз, перемещаемый краном мостового типа (МК) на гибком канатном подвесе, совершает маятниковые пространственные колебания, которые увеличивают время цикла на величину до 20 % и затрудняют использование МК в стесненных условиях и при наличии различных препятствий в виде посторонних объектов (оборудования, сооружений, материалов, заготовок производства и т.п.) в рабочей зоне перемещений. При этом возможны столкновения груза с препятствиями и повреждение как груза и МК в целом, так и посторонних объектов. Для предотвращения указанных аварийных ситуаций траектория перемещения груза планируется на значительных расстояниях от препятствий при их наличии, что еще более увеличивает время цикла МК [1, 2].
Известны различные способы гашения неуправляемых колебаний груза [3, 4, 5, 6, 7]. В настоящей работе использовался способ приближения фактической пространственной траектории перемещения груза МК к требуемой с одновременным гашением неуправляемых колебаний груза, когда требуемая траектория задана при помощи сигмоидальных функций [4].
Он заключается в формировании в режиме реального времени оптимальной траектории движения верхней подвижной точки подвеса груза на грузовых канатах при помощи ПИД-регуляторов с целью максимального приближения фактической траектории движения груза к требуемой. В результате синтезируется такая заданная траектория точки подвеса, при движении по которой груз будет двигаться по траектории, незначительно отличающейся от заданной сигмоидальными функциями [4].
Особенностью сигмоидальных функций является плавное нарастание первой и второй производных такой функции по времени от нуля до максимального значения и последующий плавный их спад до нуля. Вследствие этого заданная траектория точки подвеса характеризуется сравнительно небольшими ускорениями и скоростями одного порядка с требуемыми ускорениями и скоростями груза на сигмоидальной траектории [4].
Описание проблемы. Сложность реализации заданной траектории точки подвеса, обеспечивающей гашение неуправляемых колебаний груза на реальном МК заключается в том, что мост и грузовая тележка оснащаются, в подавляющем большинстве конструкций МК, электрическими приводами в виде электродвигателей переменного тока с релейным управлением. Для таких приводов целесообразно использовать минимальное число включений и выключений, поскольку дополнительные пуски приводят к появлению больших пусковых токов и уменьшают срок службы электродвигателей [8].
В то же время большая инерционность моста и грузовой тележки с грузом не позволяют обеспечить движения моста и грузовой тележки МК, а следовательно, верхней точки маятниковой системы свободного канатного подвеса груза, с большими ускорениями, в связи с наличием конструктивных ограничений по сцеплению приводных колес моста и грузовой тележки с рельсами, по которым они передвигаются.
|
Подвижная относительно основной грузовой тележки точка подвеса груза |
|
Дополнительные тележки |
|
Груз |
Рис. 1. Разработанная конструкция мостового крана с двумя дополнительными тележками для быстрого
перемещения точки подвеса и гашения неуправляемых колебаний груза
Для решения данной проблемы авторами были разработаны конструкции МК с дополнительными механическими элементами для быстрых перемещений точки подвеса груза [9]. В конструкции МК с двумя дополнительными тележками, в виде рам снизу основной грузовой тележки (рис. 1). Перемещение двух дополнительных тележек двумя гидроцилиндрами в горизонтальной плоскости в двух перпендикулярных направлениях приводит к созданию подвижной точки подвеса относительно основной грузовой тележки. Высокое быстродействие гидропривода, способность обеспечивать большие скорости и ускорения по сравнению с электроприводами моста и основной грузовой тележки МК, малая масса штоков гидроцилиндров и роликов подвижной точки подвеса способны компенсировать перечисленные выше недостатки электроприводов и большую инерцию масс моста и основной грузовой тележки.
В то же время все гидроцилиндры имеют достаточно ограниченный ход штока. Это требует решения оптимизационной задачи координации двух траекторий: точки, связанной с основной грузовой тележкой мостового крана, и подвижной точки подвеса груза на нижней дополнительной тележке в задаче гашения неуправляемых колебаний.
Задача оптимизация целевой функции. В качестве целевой функции выступает наибольшее значение Δmax одного из двух максимальных (на временном отрезке реализации заданной траектории точки подвеса груза) отклонений положений штоков каждого из двух гидроцилиндров дополнительных тележек ΔX(t) и ΔZ(t) от собственного срединного положения по запасам ходов штоков на выдвижение и втягивание.
Целевую функцию необходимо минимизировать (Δmax→min), т.к. это позволит использовать в конструкции МК гидроцилиндры меньших габаритных размеров с меньшими значениями предельных ходов штоков.
В качестве примера, имеющего важное практическое значение, рассматривалась заданная траектория перемещения груза в виде дуги для обхода грузом единичного препятствия. При реализации данной траектории колебания приобретают сложный пространственный характер. Для их гашения необходимо задействовать оба рабочих движения МК, т.е. перемещения точки подвеса в двух взаимно-перпендикулярных направлениях.
Значение целевой функции при исследованиях было получено путем обработки (получения разностей) временных зависимостей значений горизонтальных координат двух точек, двигающихся одновременно по двум траекториям: 1) траектории подвижной точки подвеса груза полученной при помощи ПИД-регуляторов (далее траектории № 1), обеспечивающей устранение неуправляемых колебаний груза путем отработки заданной траектории груза, когда последняя описана при помощи сигмоидальных функций; 2) траектории основной грузовой тележки мостового крана в горизонтальной плоскости (далее траектории № 2), полученной путем разгонов и торможений моста и основной грузовой тележки штатными электроприводами со сравнительно малыми постоянными ускорениями.
Описанное выше срединное положение штоков гидроцилиндров при решении оптимизационной задачи принято соответствующим совпадению координат точек на траекториях № 1 и № 2.
Требуемая траектория перемещения груза, используемая для синтеза траектории № 1, формируется при помощи двух сигмоидальных (логистических) временных функций отдельно по каждой горизонтальной координате X0, Z0 пространства в неподвижной декартовой системе координат O0X0Y0Z0. Координаты общей траектории в виде дуги для обхода грузом единичного препятствия задаются следующими временными зависимостями [4]:
; (1)
; (2)
, (3)
где t – время; XТР, ZТР – требуемые горизонтальные координаты груза в момент t; YТР – вертикальная координата груза; a, c, a1, c1, a2, c2 – параметры сигмоидальных функций; lx – заданная длина перемещения груза вдоль оси O0X0 (начальная и конечная точки имеют нулевую координату Z=0); sx – размер наибольшего заданного смещения дуги требуемой траектории груза вдоль оси O0Z0 (для обхода препятствия); ksx – коэффициент коррекции наибольшего значения смещения груза вбок.
. (4)
Функция (2) является произведением двух функций вида (1) – нарастающей и ниспадающей, с отличным друг от друга временем точек перегиба. Параметры c, c1, c2 задают время точек перегиба сигмоидальных функций. Параметрами a, a1, a2 определяются скорости изменения (роста или спада) функций.
Для изменения формы траектории груза используется коэффициент kud характеризующий относительное удаление друг от друга двух, перемножаемых в выражении (2), простых сигмоидальных функций.
Условное время перемещения точки подвеса груза TП по результатам проведенных исследований входит в пределы TП=1,33333∙TГР, где TГР – условное время перемещения груза.
При использовании порогового значения сигмоидальной функции P=0,999, при достижении которого заданное перемещение груза считалось завершенным, параметры сигмоидальной функции (1) определялись выражениями [4]:
;
, (5)
где TГР=0,75∙TП.
Параметры функции (2) задавались следующими зависимостями [4]:
a1=a; a2= –a; c1=c–kud∙TГР; c2=c+kud∙TГР. (6)
В результате в декартовой системе координат O0X0Y0Z0 формируется траектория груза XГР(t), ZГР(t) в виде дуги.
Траектория № 1 перемещения подвижной точки подвеса груза XП(t), ZП(t) (ниже точки подвеса груз свободно раскачивается на грузовых канатах) формируется по траектории груза при помощи ПИД-регуляторов согласно схеме связей, представленной на рис. 2 [4].
Траектория № 1 описана временной зависимостью с дискретным постоянным шагом времени, поскольку получение ее аналитического выражения затруднено. На рис. 3 приведен пример требуемой траектории груза при значениях параметров TП=21 с, lx =12 м, sx =6 м, kud=0,35, и сформированной по ней требуемой траектории подвеса (траектории № 1). Длина подвеса груза (расстояние от подвижной точки подвеса до центра масс груза) составляла L=12 м. Масса груза mГР=100 кг. Коэффициент демпфирования по угловой координате отклонения грузового каната от вертикали b=100 Н∙м/(рад/c).
Траектория № 2 XМ(t), ZТ(t) также формировалась путем дискретного представления временных зависимостей ускорений, скоростей и перемещений XМ(t) моста и основной грузовой тележки ZТ(t), приводимых в движение штатными электроприводами МК. Было принято допущение о постоянных значениях ускорений при разгонах и торможениях моста и основной грузовой тележки МК. Значение скорости вычислялось путем численного интегрирования ускорения. Значение перемещения в свою очередь – путем численного интегрирования скорости. Максимальные скорости установившегося движения моста и основной грузовой тележки исследуемого МК составляют: для моста vмост max=1,5 м/с; для грузовой тележки vтел max=0,7 м/с [10].
|
Задатчик требуемой координаты груза XТР |
|
Задатчик требуемой координаты груза ZТР |
|
c1 |
|
P |
|
I/p |
|
Dp |
|
ПИД регулятор |
|
c2 |
|
P |
|
I/p |
|
Dp |
|
ПИД регулятор |
|
Виртуальный измеритель XГР |
|
Виртуальный измеритель ZГР |
|
XГР |
|
ZГР |
|
ZТР |
|
XТР |
|
F1 |
|
F2 |
|
Механическая система МК с грузом |
|
ZП |
|
XП |
Рис. 2. Схема связей для построения модели механической системы мостового крана с ПИД-регуляторами,
подвижная точка подвеса груза которого гасит неуправляемые колебания груза
|
0 |
|
5 |
|
10 |
|
15 |
|
20 |
|
25 |
|
30 |
|
0 |
|
5 |
|
10 |
|
t, с |
|
XТР, ZТР, XП, ZП, м |
|
XТР |
|
ZТР |
|
XП |
|
ZП |
Рис. 3. Требуемая траектория перемещения груза и сформированная траектория перемещения точки подвеса (пример для lx =12 м, sx =6 м, kud=0,35)
Моделировались перемещения моста и основной грузовой тележки исследуемого МК по следующей траектории: 1) для моста – разгон от нулевой скорости до vмост max с ускорением aмост разг, затем движение в установившемся режиме (vмост max=1,5 м/с), затем полная остановка моста с ускорением торможения aмост торм; 2) для грузовой тележки – комбинация из двух последовательно выполняемых перемещений на одно и то же расстояние, аналогичных перемещениям моста (п. 1) в прямом, а затем в обратном направлениях с паузой (остановкой продолжительностью tтел ост) между ними. aтел разг, aтел торм обозначены ускорения разгона и торможения основной грузовой тележки соответственно.
Заданное перемещение основной грузовой тележки sx0 вдоль оси O0Z0 было представлено как сумма заданного бокового смещения груза sx и величины коррекции бокового смещения dsx:
sx0=sx+dsx. (7)
Полное общее время перемещения моста с грузовой тележкой tполн определялось как максимальное из двух значений полного времени перемещения моста и полного времени перемещения основной грузовой тележки. Запаздывание tзап момента начала перемещения того подвижного элемента МК (моста или основной грузовой тележки), время перемещения которого наименьшее, относительно момента начала перемещения подвижного элемента, время перемещения которого наибольшее, определялось по следующей зависимости:
tзап= |(tмост полн – tтел полн)|·Part, (8)
где Part [0; 1] – безразмерный долевой коэффициент, характеризующий смещение момента начала перемещения одного подвижного элемента относительно момента начала перемещения второго подвижного элемента МК; tмост полн, tтел полн – полного времени перемещения моста и основной грузовой тележки соответственно.
Все перечисленные выше независимые параметры, характеризующие процессы синтеза и координации (совмещения) траектории № 1 и траектории № 2, могут быть разделены на 3 группы: 1) Параметры, характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз: TП, lx, sx, kud; 2) Параметры, характеризующие механическую систему МК: L, mГР, b; 3) Параметры, характеризующие траекторию перемещения основной грузовой тележки в горизонтальной плоскости (траекторию № 2): lx, sx0, Part, tтел ост, aмост разг, aмост торм, vмост max, aтел разг, aтел торм, vтел max.
Параметры размеров требуемой траектории груза lx, sx при решении описываемой задачи считались заданными исходными данными и не оптимизировались. В то же время характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз, параметры TП и kud могут быть скорректированы без изменения габаритных размеров требуемой траектории груза lx, sx.
Параметры ускорений и максимальных скоростей движения моста и основной грузовой тележки также при решении задачи были фиксированными.
Из 15 перечисленных независимых параметров 10 будут заданными: lx, sx, L, mГР, b, aмост разг, aмост торм, vмост max, aтел разг, aтел торм, vтел max, и только оставшиеся 5 могут быть оптимизированы: TП, kud, Part, tтел ост, sx0.
Значение целевой функции определялось выражением
Δmax=max({|XП(t)–XМ(t)|}; {|ZП(t)–ZТ(t)|}), t [0; Tкон], (9)
где
Tкон=max(tполн; TП). (10)
Запаздывание tзап момента начала реализации той траектории (№ 1 или № 2), время реализации которой наименьшее, относительно момента начала реализации той траектории, время реализации которой наибольшее, определялось по следующей зависимости:
tзап0= |(tполн – TП)|·0,5. (11)
Пример оптимизации. Оптимальные значения TП, kud, Part, tтел ост и sx0 находились Симплекс-методом [11, 12] по условию минимизации значений Δmax при начальных условиях
TП=30 с; kud=0,3; Part=0,5; tтел ост=1 с; sx0=sx. (12)
Для сведения задачи условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации, для решения которой применим симплекс-метод, использовался метод добавления к основной функции (9) штрафных функций при выходе параметров за диапазоны варьирования [11, 12]:
TП [18;∞]; kud
[0,1;0,5]; Part
[0,1;0,9];
tтел ост [0,1;∞];sx0
[0,1;∞]. (13)
В качестве примера, на рис. 4 приведены временные зависимости координат траекторий № 1 и № 2, покоординатных отклонений двух указанных траекторий друг от друга (необходимых для реализации траектории № 1 подвеса отклонений положений штоков каждого из двух гидроцилиндров дополнительных тележек ΔX(t) и ΔZ(t) от собственного срединного положения по запасам ходов штока на выдвижение и втягивание) и виды в плане двух траекторий.
Фиксированные заданные параметры принимали значения lx=12 м; sx=6 м; L=12 м; mГР=100 кг; b=100 Н·м/(рад/с); aмост разг=0,4 м/с2; aмост торм=0,75 м/с2; vмост max= 1,5 м/с; aтел разг=0,54 м/с2; aтел торм=0,67 м/с2; vтел max=0,7 м/с.
На рис. 4, а (левый ряд) зависимости соответствуют начальным условиям (12), а на рис. 4, б (правый ряд) – оптимальным значениям переменных факторов:
TП=21,06 с; kud=0,34983; Part= 0,4635;
tтел ост= 1,0317 с; sx0= 0,1559. (14)
Значения целевой функции Δmax до и после оптимизации переменных факторов составили 1,098 и
То есть, для реализации исследованной траектории с габаритными размерами lx=12 м, sx=6 м без оптимизации, должны быть использованы гидроцилиндры с максимальными значениями ходов штоков 1,098·2=2,196 м, а после оптимизации – с максимальными значениями ходов штоков 0,313·2=0,626 м.
Моделировались перемещения моста и основной грузовой тележки исследуемого МК по следующей траектории: 1) для моста – разгон от нулевой скорости до vмост max с ускорением aмост разг, затем движение в установившемся режиме (vмост max=1,5 м/с), затем полная остановка моста с ускорением торможения aмост торм; 2) для грузовой тележки – комбинация из двух последовательно выполняемых перемещений на одно и то же расстояние, аналогичных перемещениям моста (п. 1) в прямом, а затем в обратном направлениях с паузой (остановкой продолжительностью tтел ост) между ними. aтел разг, aтел торм обозначены ускорения разгона и торможения основной грузовой тележки соответственно.
Заданное перемещение основной грузовой тележки sx0 вдоль оси O0Z0 было представлено как сумма заданного бокового смещения груза sx и величины коррекции бокового смещения dsx:
sx0=sx+dsx. (7)
Полное общее время перемещения моста с грузовой тележкой tполн определялось как максимальное из двух значений полного времени перемещения моста и полного времени перемещения основной грузовой тележки. Запаздывание tзап момента начала перемещения того подвижного элемента МК (моста или основной грузовой тележки), время перемещения которого наименьшее, относительно момента начала перемещения подвижного элемента, время перемещения которого наибольшее, определялось по следующей зависимости:
tзап= |(tмост полн – tтел полн)|·Part, (8)
где Part [0; 1] – безразмерный долевой коэффициент, характеризующий смещение момента начала перемещения одного подвижного элемента относительно момента начала перемещения второго подвижного элемента МК; tмост полн, tтел полн – полного времени перемещения моста и основной грузовой тележки соответственно.
Все перечисленные выше независимые параметры, характеризующие процессы синтеза и координации (совмещения) траектории № 1 и траектории № 2, могут быть разделены на 3 группы: 1) Параметры, характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз: TП, lx, sx, kud; 2) Параметры, характеризующие механическую систему МК: L, mГР, b; 3) Параметры, характеризующие траекторию перемещения основной грузовой тележки в горизонтальной плоскости (траекторию № 2): lx, sx0, Part, tтел ост, aмост разг, aмост торм, vмост max, aтел разг, aтел торм, vтел max.
Параметры размеров требуемой траектории груза lx, sx при решении описываемой задачи считались заданными исходными данными и не оптимизировались. В то же время характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз, параметры TП и kud могут быть скорректированы без изменения габаритных размеров требуемой траектории груза lx, sx.
Параметры ускорений и максимальных скоростей движения моста и основной грузовой тележки также при решении задачи были фиксированными.
Из 15 перечисленных независимых параметров 10 будут заданными: lx, sx, L, mГР, b, aмост разг, aмост торм, vмост max, aтел разг, aтел торм, vтел max, и только оставшиеся 5 могут быть оптимизированы: TП, kud, Part, tтел ост, sx0.
Значение целевой функции определялось выражением
Δmax=max({|XП(t)–XМ(t)|}; {|ZП(t)–ZТ(t)|}), t [0; Tкон], (9)
где
Tкон=max(tполн; TП). (10)
Запаздывание tзап момента начала реализации той траектории (№ 1 или № 2), время реализации которой наименьшее, относительно момента начала реализации той траектории, время реализации которой наибольшее, определялось по следующей зависимости:
tзап0= |(tполн – TП)|·0,5. (11)
Пример оптимизации. Оптимальные значения TП, kud, Part, tтел ост и sx0 находились Симплекс-методом [11, 12] по условию минимизации значений Δmax при начальных условиях
TП=30 с; kud=0,3; Part=0,5; tтел ост=1 с; sx0=sx. (12)
Для сведения задачи условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации, для решения которой применим симплекс-метод, использовался метод добавления к основной функции (9) штрафных функций при выходе параметров за диапазоны варьирования [11, 12]:
TП [18;∞]; kud
[0,1;0,5]; Part
[0,1;0,9];
tтел ост [0,1;∞];sx0
[0,1;∞]. (13)
В качестве примера, на рис. 4 приведены временные зависимости координат траекторий № 1 и № 2, покоординатных отклонений двух указанных траекторий друг от друга (необходимых для реализации траектории № 1 подвеса отклонений положений штоков каждого из двух гидроцилиндров дополнительных тележек ΔX(t) и ΔZ(t) от собственного срединного положения по запасам ходов штока на выдвижение и втягивание) и виды в плане двух траекторий.
Фиксированные заданные параметры принимали значения lx=12 м; sx=6 м; L=12 м; mГР=100 кг; b=100 Н·м/(рад/с); aмост разг=0,4 м/с2; aмост торм=0,75 м/с2; vмост max= 1,5 м/с; aтел разг=0,54 м/с2; aтел торм=0,67 м/с2; vтел max=0,7 м/с.
На рис. 4, а (левый ряд) зависимости соответствуют начальным условиям (12), а на рис. 4, б (правый ряд) – оптимальным значениям переменных факторов:
TП=21,06 с; kud=0,34983; Part= 0,4635;
tтел ост= 1,0317 с; sx0= 0,1559. (14)
Значения целевой функции Δmax до и после оптимизации переменных факторов составили 1,098 и
То есть, для реализации исследованной траектории с габаритными размерами lx=12 м, sx=6 м без оптимизации, должны быть использованы гидроцилиндры с максимальными значениями ходов штоков 1,098·2=2,196 м, а после оптимизации – с максимальными значениями ходов штоков 0,313·2=0,626 м.
Моделировались перемещения моста и основной грузовой тележки исследуемого МК по следующей траектории: 1) для моста – разгон от нулевой скорости до vмост max с ускорением aмост разг, затем движение в установившемся режиме (vмост max=1,5 м/с), затем полная остановка моста с ускорением торможения aмост торм; 2) для грузовой тележки – комбинация из двух последовательно выполняемых перемещений на одно и то же расстояние, аналогичных перемещениям моста (п. 1) в прямом, а затем в обратном направлениях с паузой (остановкой продолжительностью tтел ост) между ними. aтел разг, aтел торм обозначены ускорения разгона и торможения основной грузовой тележки соответственно.
Заданное перемещение основной грузовой тележки sx0 вдоль оси O0Z0 было представлено как сумма заданного бокового смещения груза sx и величины коррекции бокового смещения dsx:
sx0=sx+dsx. (7)
Полное общее время перемещения моста с грузовой тележкой tполн определялось как максимальное из двух значений полного времени перемещения моста и полного времени перемещения основной грузовой тележки. Запаздывание tзап момента начала перемещения того подвижного элемента МК (моста или основной грузовой тележки), время перемещения которого наименьшее, относительно момента начала перемещения подвижного элемента, время перемещения которого наибольшее, определялось по следующей зависимости:
tзап= |(tмост полн – tтел полн)|·Part, (8)
где Part [0; 1] – безразмерный долевой коэффициент, характеризующий смещение момента начала перемещения одного подвижного элемента относительно момента начала перемещения второго подвижного элемента МК; tмост полн, tтел полн – полного времени перемещения моста и основной грузовой тележки соответственно.
Все перечисленные выше независимые параметры, характеризующие процессы синтеза и координации (совмещения) траектории № 1 и траектории № 2, могут быть разделены на 3 группы: 1) Параметры, характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз: TП, lx, sx, kud; 2) Параметры, характеризующие механическую систему МК: L, mГР, b; 3) Параметры, характеризующие траекторию перемещения основной грузовой тележки в горизонтальной плоскости (траекторию № 2): lx, sx0, Part, tтел ост, aмост разг, aмост торм, vмост max, aтел разг, aтел торм, vтел max.
Параметры размеров требуемой траектории груза lx, sx при решении описываемой задачи считались заданными исходными данными и не оптимизировались. В то же время характеризующие траекторию, по которой требуется переместить груз, параметры TП и kud могут быть скорректированы без изменения габаритных размеров требуемой траектории груза lx, sx.
Параметры ускорений и максимальных скоростей движения моста и основной грузовой тележки также при решении задачи были фиксированными.
Из 15 перечисленных независимых параметров 10 будут заданными: lx, sx, L, mГР, b, aмост разг, aмост торм, vмост max, aтел разг, aтел торм, vтел max, и только оставшиеся 5 могут быть оптимизированы: TП, kud, Part, tтел ост, sx0.
Значение целевой функции определялось выражением
Δmax=max({|XП(t)–XМ(t)|}; {|ZП(t)–ZТ(t)|}), t [0; Tкон], (9)
где
Tкон=max(tполн; TП). (10)
Запаздывание tзап момента начала реализации той траектории (№ 1 или № 2), время реализации которой наименьшее, относительно момента начала реализации той траектории, время реализации которой наибольшее, определялось по следующей зависимости:
tзап0= |(tполн – TП)|·0,5. (11)
Пример оптимизации. Оптимальные значения TП, kud, Part, tтел ост и sx0 находились Симплекс-методом [11, 12] по условию минимизации значений Δmax при начальных условиях
TП=30 с; kud=0,3; Part=0,5; tтел ост=1 с; sx0=sx. (12)
Для сведения задачи условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации, для решения которой применим симплекс-метод, использовался метод добавления к основной функции (9) штрафных функций при выходе параметров за диапазоны варьирования [11, 12]:
TП [18;∞]; kud
[0,1;0,5]; Part
[0,1;0,9];
tтел ост [0,1;∞];sx0
[0,1;∞]. (13)
В качестве примера, на рис. 4 приведены временные зависимости координат траекторий № 1 и № 2, покоординатных отклонений двух указанных траекторий друг от друга (необходимых для реализации траектории № 1 подвеса отклонений положений штоков каждого из двух гидроцилиндров дополнительных тележек ΔX(t) и ΔZ(t) от собственного срединного положения по запасам ходов штока на выдвижение и втягивание) и виды в плане двух траекторий.
Фиксированные заданные параметры принимали значения lx=12 м; sx=6 м; L=12 м; mГР=100 кг; b=100 Н·м/(рад/с); aмост разг=0,4 м/с2; aмост торм=0,75 м/с2; vмост max= 1,5 м/с; aтел разг=0,54 м/с2; aтел торм=0,67 м/с2; vтел max=0,7 м/с.
На рис. 4, а (левый ряд) зависимости соответствуют начальным условиям (12), а на рис. 4, б (правый ряд) – оптимальным значениям переменных факторов:
TП=21,06 с; kud=0,34983; Part= 0,4635;
tтел ост= 1,0317 с; sx0= 0,1559. (14)
Значения целевой функции Δmax до и после оптимизации переменных факторов составили 1,098 и
То есть, для реализации исследованной траектории с габаритными размерами lx=12 м, sx=6 м без оптимизации, должны быть использованы гидроцилиндры с максимальными значениями ходов штоков 1,098·2=2,196 м, а после оптимизации – с максимальными значениями ходов штоков 0,313·2=0,626 м.
Рис. 4. Временные зависимости координат траекторий № 1 и № 2, покоординатных отклонений двух указанных траекторий друг от друга и виды в плане двух траекторий
Выводы. Проведенные исследования показали, что значение целевой функции Δmax при оптимизации ряда параметров без изменения габаритных размеров требуемой траектории груза может быть уменьшено более чем в 3 раза. Это позволит уменьшить хода штоков и размеры гидроцилиндров, используемых для быстрого перемещения точки подвеса груза и устранения его неуправляемых пространственных маятниковых колебаний.
1. Щедринов А.В., Сериков С.А., Колмыков В.В. Автоматическая система успокоения колебаний груза для мостового крана // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2007. № 8. С. 1317.
2. Толочко О.И., Бажутин Д.В. Сравнительный анализ методов гашения колебаний груза, подвешенного к механизму поступательного движения мостового крана // Электромашиностроение и электрооборудование. 2010. № 75. С. 22-28.
3. Blackburn D., Singhose W., Kitchen J., Patrangenaru V., Lawrence J. Command Shaping for Nonlinear Crane Dynamics // Journal of Vibration and Control. 2010. № 16. pp. 477-501.
4. Korytov M.S., Shcherbakov V.S., Volf E.O. Impact sigmoidal cargo movement paths on the efficiency of bridge cranes // International Journal of Mechanics and Control. 2015. Vol. 16. № 2. pp. 3-8.
5. Omar H.M. Control of gantry and tower cranes : PhD Dissertation. Virginia Polytechnic Institute and State University. Blacksburg, Virginia. 2003. 100 p.
6. Abdel-Rahman E.M., Nayfeh A.H., Masoud Z.N. Dynamics and control of cranes : a review. Journal of Vibration and Control. 2003. № 9. pp. 863-908.
7. Fang Y., Dixon W.E., Dawson D.M., Zergeroglu E. Nonlinear coupling control laws for an underactuated overhead crane system // IEEE/ASME Trans. Mechatronics, 2003. Vol. 8. № 3. pp. 418-423.
8. Москаленко В.В. Электрический привод. М.: Академия, 2007. 368 с.
9. Патент РФ № 2014120325/11, 20.05.2014. Щербаков В.С., Корытов М.С., Вольф Е.О. Мостовой кран // Патент России № 146374. 2014. Бюл. № 28.
10. Иванченко Ф.К. Расчеты грузоподъемных и транспортирующих машин. Киев: Вища школа. 1978. 576 с.
11. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.
12. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс: пер. с англ. М.: Радио и связь. 1988. 128 с.
