г. Москва и Московская область, Россия
В статье используется вариант метода суперэлементов (МСЭ), ориентированный именно на систему расчета несущей стержневой конструкции, смысл которого эквивалентен методу вырезания узлов. По сути, смысл разрешающих уравнений не отличается от классических ва-риантов метода конечных или суперэлементов. В статье представлены аналитические реше-ния для статических и динамических задач. Описан алгоритм расчета. Рассматривается во-прос об устойчивости системы в целом. Предложенный вариант расчета можно применять при моделировании пространственных конструктивных систем каркасного типа.
ансамбль конечных элементов, матрица жесткости, запроектные воздействия, устойчивость системы, частота свободных колебаний стержневой системы.
Введение. В основу системы расчета здания положен принцип: «один стержневой элемент – один суперэлемент» [1]. В отличие от традиционного подхода, состоящего в приписывании конечному элементу полиномиальных функций формы, суть принятой концепции заключается в использовании аналитических решений задач статики и динамики прямого стержня, которым придается специфический, характерный для МКЭ, вид.
Уравнения для стержневых элементов. Напряженно-деформированное состояние (НДС) стержня в каждом взятом сечении может быть описано с помощью двух групп параметров. Одна группа представляет кинематические характеристики (деформированное состояние), а вторая – возникающие в ходе этого внутренние силовые факторы:
(1)
В системе расчета удобно применить принцип гипотезы Бернулли о плоских сечениях и о ненадавливании слоев [2] и подходы, рассмотренные в [3, 4, 5]. Необходимо отметить, что не для всех условий деформирования, например, железобетонных элементов строительных конструкций использование гипотезы плоских сечений является справедливым [6].
В соответствии с принятыми нами гипотезами движение описывается системой дифференциальных уравнений движения, геометрическими и физическими соотношениями:
Здесь введены следующие обозначения: A – площадь поперечного сечения стержня; Jn, Jb – главные центральные моменты инерции поперечного сечения, Jp = Jn+Jb – полярный момент инерции, E – модуль упругости (модуль Юнга), G – модуль сдвига.
Используя для (4) матричную форму записи, получим:
(4)
где вектор состояния:
(5)
вектор распределенных нагрузок:
(6)
матрица жесткости S и матрица инерции D, структура которых очевидна из (2, 3). При решении статических задач матрицу D следует положить равной нулю.
Решение статических задач. Для решения статических задач имеем решение задачи Коши:
(7)
где введена матрица влияния V(x), которая может быть элементарно получена аналитическим решением системы (2, 3) при известных внешних распределенных нагрузках F. Компоненты матрицы V представляют собой степенные функции не выше 3 степени. Решение (7) можно представить разделением на две части, первая из которых определяет кинематические факторы в произвольной точке стержня через силовые и кинематические параметры состояния в начале стержня:
(8)
Записывая первое уравнение (8) для конца стержня, исключим силовые факторы yF(0) через кинематические факторы в конце стержня yC(L), где L – длина стержня:
(9)
Записывая второе уравнение (8) для конца стержня, и исключая силовые факторы в начале стержня через (9) получаем выражения для силовых факторов в начале и конце стержня через кинематические факторы в начале и конце стержня. Уравнению (9) и его аналогу для x=L можно придать вид, характерный для МКЭ:
(10)
где – вектор узловых сил; – вектор узловых перемещений, КFE – матрица жесткости КЭ, FFE – вектор узловых сил от заданных распределенных нагрузок.
Так как выражение (10) имеет такой же физический смысл, что и аналогичное выражение МКЭ, то для формирования матричных характеристик ансамбля элементов следует использовать известный алгоритм метода конечных элементов [7, 8].
Решение статических задач очевидно: так как выражение имеет смысл внутренних сил, действующих на начало и конец стержня, то после вычисления МЖ ансамбля КЭ получается система уравнений равновесия узлов:
. (11)
Так решается задача о состоянии стержневой системы под действием собственного веса, под действием сборных перекрытий, перегородок и т.п.
Решение динамических задач. Для решения динамических задач используем метод модального разложения, в соответствии с которым перемещения представляются обобщенным рядом Фурье по формам свободных колебаний стержня (а для системы стержней – по ее формам свободных колебаний) [9, 10]. Таким образом, определяющим является решение задачи о свободных колебаниях одного стержня.
Для этого запишем однородное уравнение динамики, сопутствующее (4):
. (12)
Полагая, что свободные колебания упругого стержня представляются гармонической функцией времени: , из (12) получим спектральное уравнение:
(13)
Его решение получается с использованием преобразования Лапласа через балочные функции Крылова и тригонометрические функции [11, 12]. Так как (13) представляет собой задачу Коши, то его можно записать в форме (7), где вектор внешних нагрузок следует опустить. Но в силу этой аналогии можно провести те же рассуждения, что и в статике и получить решение в той же форме, что и (10) (конечно, без внешних сил):
(14)
Отметим, что физический смысл (14) такой же, как и (10); следовательно, при моделировании стержневой системы можно также применить алгоритма МКЭ [4]. В отличие от статической задачи, задача (14) содержит неизвестный параметр w - частоту свободных колебаний стержневой системы. Этот параметр определяется из трансцендентного уравнения
(15)
где КAFE – матрица жесткости ансамбля КЭ. Решить это частотное уравнение можно, используя метод половинного деления. Собственные векторы системы определяются методом обратных итераций.
Для решения неоднородных динамических задач используется метод модального разложения, в соответствии с которым узловые перемещения представляются в виде разложения по собственным векторам hk задачи (15). Пусть задача (15) решена, то есть определены первые N собственных частот и соответствующие им собственные векторы hk, записанные в виде прямоугольной матрицы Н (6Nуз´N). Тогда узловые перемещения в неоднородной задаче можно записать в следующем виде:
(16)
Собственные формы упругой задачи обладают свойствами полноты и ортогональности:
(17)
Составим вариационное уравнение Лагранжа – Д'Аламбера [13]:
(18)
где введен вектор обобщенных деформаций
(19)
матрица обобщенных жесткостей
(20)
матрица обобщенных масс
(21)
Подставим в (18) разложение (16). Учитывая свойство ортогональности (18) и вытекающее из него
(22)
получим, считая, что компоненты dа – независимые функции времени, систему обыкновенных дифференциальных уравнений с диагональной матрицей:
(23)
Здесь diag(w02) – диагональная матрица, составленная из квадратов частот свободных колебаний упругой системы. Нам удобно записать решение (23) в виде:
(24)
Здесь введена матрица весовых функций W(t), зависящая только от структуры и закреплений системы, которая в случае упругих свойств системы является диагональной и определяется следующим образом:
(25)
Векторы определяются разложением начальных условий по формам свободных колебаний, равно как и вектор R.
Алгоритм. При исследовании, например, запроектных воздействий используется пошаговый алгоритм, суть которого в следующем:
- решается статическая задача о проектном состоянии системы при заданных нагрузках;
- принимается решение о возможном разрушении одной или нескольких связей между элементами системы в некоторый момент времени t* и модифицируется матрица жесткости ансамбля (МЖА) конечных элементов;
- определяется спектр свободных колебаний модифицированной системы;
- состояние системы в момент времени t* представляется разложением по спектру модифицированного состояния, тем самым определяя начальные условия для расчета модифицированного состояния;
- производится динамический расчет модифицированного состояния при заданных нагрузках и начальных условиях.
Заключение. Вопрос об устойчивости системы в целом решается с помощью критерия Рауса-Гурвица [14, 15] для динамических систем: если среди корней частотного уравнения есть отрицательные, то система в целом считается неустойчивой (по Ляпунову [16]) и такой вариант запроектных воздействий считается приводящим к лавинному сценарию разрушения, т.е. расчет на этом прекращается. Если же критерий Гурвица дает положительный ответ на вопрос об устойчивости системы, то упомянутый алгоритм следует повторить с п.2.
Если предположить внутреннюю перестройку структуры одного из стержней системы, то модификация МЖА выполняется заменой КЭ для идеального элемента на КЭ с несовершенствами [1, 4]; алгоритм в целом сохраняется – изменяется содержание п.2.
Помимо упомянутых в разд. Алгоритм запроектных воздействий следует предусмотреть потерю устойчивости некоторых стержней. Для этого в уравнение (18) следует добавить слагаемое, учитывающее работу продольных сил в стержнях на перемещениях изгиба. Технически это достигается добавлением к уравнениям состояния слагаемого, зависящего от продольной силы. При этом алгоритм исследования динамической устойчивости сохраняется, если считать начальную продольную силу в каждом стержне постоянной, определенной решением статической задачи.
Предложенный вариант расчета удобно применять при моделировании пространственных конструктивных систем каркасного типа при расчете, например, живучести зданий [17, 18, 19].
1. Kovalchuk O.А. The rod as super-element of the subsystem // MATEC Web of Conferences. 5th International Scientific Confer-ence “Integration, Partnership and Innovation in Construction Science and Education”. 2016. Vol. 86. P. 6.
2. Сафронов В.С., Катембо А.Л. Расчет несущей способности внецентренно сжатого стержня из железобетона с использованием деформационной модели // Строительная ме-ханика и конструкции. 2016. Т. 1. № 12. С. 64-74.
3. Гордон В.А., Тамразян А.Г., Савости-кова Т.В. Динамические напряжения в арма-турном стержне при внезапном образовании трещин // Вестник НИЦ Строительство. 2010. № 2. С. 167-176.
4. Ковальчук О.А. Моделирование про-странственных стержневых систем методом конечных элементов // Строительство: наука и образование. 2012. № 1. С. 1-6.
5. Тамразян А.Г., Ковальчук О.А. Мат-рица влияния модели суперэлемента прямого стержня с поперечными трещинами на дина-мическое состояние упругих и линейно-вязкоупругих тел // Вестник НИЦ Строитель-ство. 2011. № 3-4. С. 120-130.
6. Колчунов В.И., Яковенко И.А. Об ис-пользовании гипотезы плоских сечений в же-лезобетоне // Строительство и реконструкция. 2011. № 6. С. 16-23.
7. Городецкий А.С. Возможности приме-нения суперэлементов при решении различ-ных задач строительной механики // Строи-тельная механика и расчет сооружений. 2015. № 6 (263). С. 51-56.
8. Огурцов Ю.Н. Реализация многоуров-невого суперэлементного подхода к расчету конструкций // Строительная механика и рас-чет сооружений. 1989. № 5. С. 50-54.
9. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и об-ращения Лапласа. М.: Изд. Наука, 1974. 224 c.
10. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Эле-менты теории функций и функционального анализа. М.: Изд. Наука, 1976. 544 с.
11. Порошина H.И., Рябов В.М. Об обра-щении преобразования Лапласа некоторых специальных функций // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Ма-тематика. Механика. Астрономия. 2009. № 3. С. 50-60.
12. Talbot A. The accurate numerical inver-sion of Laplace transform // J. Inst. Maths. Applics. 1979. Vol.23. P.97-120.
13. Козлов В.В. О вариационных принци-пах механики // Прикладная математика и ме-ханика. 2010. Т. 74. № 5. С. 707-717.
14. Clark R.N., The Routh-Hurwitz stability criterion, revisited // IEEE Control Systems Year. 1992. Vol. 12. P. 119 - 120.
15. Anagnost J.J., Desoer C.A., An elemen-tary proof of the Routh-Hurwitz stability criteri-on // Circuits Systems and Signal Process. 1991. Vol. 10. P. 101-114.
16. Parks P.C. A new proof of the Routh-Hurwitz stability criterion using the second method of Liapunov // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1962. Vol. 58. P. 694-702.
17. Белостоцкий А. М., Каличава Д. К. Математическое моделирование как основа мониторинга зданий и сооружений // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2010. Т. 6. № 1-2. С. 78-79.
18. Стругацкий Ю.М., Шапиро Г.И. Без-опасность московских жилых зданий массо-вых серий при чрезвычайных ситуациях. // Промышленное и гражданское строительство. 1998. № 8. С. 37-41.
19. Тамразян А.Г., Степанов А.Ю., Пар-фенов С.Г. Конструктивная безопасность же-лезобетонных конструкций зданий и соору-жений при запроектных воздействиях. // Науч. тр. 2-ой Всероссийской (Международной) конференции по бетону и железобетону «Бе-тон и железобетон: пути развития». М.: Ди-пак, 2005. Т.6. С. 92-100.
