CONVERGENCE OF THE NUMERICAL DIAGRAM METHOD OF NONLINEAR CALCULATION OF CORE REINFORCED CONCRETE ELEMENTS
Abstract and keywords
Abstract (English):
Earlier, authors considered the under-examined question of accuracy (error) in the theory of the diagram method for calculating reinforced concrete core elements. The notion of convergence of the numerical implementation of the method under consideration is closely related to it, which has so far remained undisclosed. The article presents a theoretical justification of the convergence criterion of a numerical diagram method for calculating the strength of reinforced concrete bendable elements. The resulting criterion coincides in form with the Chebyshev norm. It implies a criterion for stopping the iterative calculation process and an estimate of the error of the numerical diagram method. Using the example of a reinforced concrete element with a rectangular cross section and double reinforcement, the issue of convergence of iterative strength calculation with varying concrete class and percentage of reinforcement is investigated. It is established that for all the considered design variants, the iterative calculation process converges after the 6th iteration at the initial curvature approximation and after the 4th iteration at , with a relative calculation error of δ<1 %. In addition, it is found that with an increase in the percentage of reinforcement, the convergence of the calculation improves: with the number of iterations equal to 4, the error in the design variant B60, µ = 0.5 % is 10.3 %, and with B35, µ = 3.0 %–0.98 %.

Keywords:
reinforced concrete, nonlinear deformation model, diagram method, deformation diagrams, numerical method, convergence
Text
Publication text (PDF): Read Download

Введение. Ранее мы достаточно подробно рассмотрели малоизученный в численной реализации диаграммного метода расчёта железобетонных стержневых элементов вопрос о его точности (погрешности) [1]. Тесно с этим вопросом связано такое понятие, как сходимость. К сожалению, не нашлось ни одной работы как в отечественной литературе, так и зарубежной, посвящённой теории сходимости рассматриваемого метода. Цель данной публикация – в определённой мере восполнить этот пробел.

Сходимость определяют как приближение (стремление) результата численного метода к истинному (аналитическому) решению задачи. Процесс последовательных приближений считается законченным, если его результаты соответствуют некоторому критерию сходимости.

В статье [2] отмечается, что установить сходимость и оценить быстроту сходимости итерационного процесса не представляется возможным из-за немонотонности итерационного расчета диаграммным методом. Скорость сходимости итераций зависит от уровня нагружения. На начальных этапах итерационный процесс в пределах шага нагружения сходится в среднем за 10-15 итераций, по мере приближения к предельному состоянию скорость сходимости замедляется. На точность результата большое влияние оказывает формулировка условия прекращения итерационного процесса указанием величины минимального изменения итерационно уточняемых переменных и предельного числа итераций.

В монографии [3] расчёт статически неопределимых железобетонных конструкций с учётом физической нелинейности предложено вести методом последовательного уточнения жесткостей. Отмечается, что начальное приближение решения не влияет на сходимость итерационного метода, поэтому для формулирования критерия сходимости рекуррентная зависимость для нахождения искомого параметра (усилия в сечении стержня с учётом перераспределения) принята в виде простейшей цепной дроби вида . Согласно теореме А.Я. Хинчина для сходимости цепной дроби необходимо и достаточно, чтобы ряд  был расходящимся. Сформулировать условие сходимости процесса последовательного уточнения жесткостей удаётся лишь при рассмотрении простейших систем. Попытки сформулировать это условие для более сложных систем привели к усложнению и критериев сходимости, и аппарата, необходимого для их анализа [4].

В МКЭ, например, в [5] для итерационного уточнения на каждом шаге нагружения напряжениями используется метод переменных параметров упругости (модифицированный алгоритм Ньютона-Рафсона, в котором касательные модули заменяются на секущие). В качестве критерия сходимости применяется эвклидова норма вектора деформаций.

В Методическом пособии [6] нелинейные задачи железобетона решаются в самом общем виде в объёмной постановке методами упругих решений, переменных параметров, начальных напряжений и др. Интерес касаемо темы статьи представляет небольшой параграф этого пособия 11.7, в котором приведены общие соображения о критерии сходимости метода упругих решений. Критерий записывается через перемещения в трёх возможных вариантах:

 

 – октаэдрическая норма,

 – Евклидова норма,

 – Чебышева норма,

(1)

 

где  – норма невязки; ε – константа (10-2ε≤10-6); 1≤iN – номер компоненты решения; Δri – разность компонент вычисления перемещений между текущей и предыдущей итерациями;  – эталонная величина перемещений.

Если процесс сходится по одной норме, то он сходится и по любой другой норме. Выбор нормы определяет скорость сходимости. При прочих равных условиях наибольшую скорость сходимости дает Евклидова норма, наименьшую – Чебышева норма.

Использовать вышеприведённые критерии для численного диаграммного метода также возможно, если вместо перемещений ri использовать напряжения σi, деформации εi, предельный момент Mult, момент трещинообразования Mcrc, жёсткость D и др. Но более удобно, на наш взгляд, для железобетонных элементов, испытывающих изгиб (продольный либо поперечный), критерий сходимости строить через кривизну χ. Поскольку кривизна – это интегральный параметр, описывающий деформированное состояние сечения в целом, то на её основе может быть получен критерий сходимости по Чебышеву:

,

(2)

где  – кривизна оси стержня в расчётном сечении соответственно на текущей и предшествующей итерациях расчёта.

Ниже будет приведён строгий математический вывод этой формулы.

Из своего опыта построения алгоритмов расчёта НДС всевозможных железобетонных элементов численным диаграммным методом [7] сходимость для него может быть рассмотрена в двух формах:

– как сходимость итерационного процесса вычислений (внешний цикл алгоритма), когда для получения результата выполняют последовательные итерации, получая последовательность значений некоего управляющего параметра (обычно кривизны продольной оси железобетонного стержня, реже – относительных продольных деформаций в характерной точке сечения): говорят, что эта последовательность сходится к точному (аналитическому) решению, если при неограниченном возрастании числа итераций решение стремится к действительному и в пределе (при устремлении числа итераций к бесконечности) равно ему;

– как сходимость дискретизации нелинейной деформационной модели нормального сечения при выполнении процедуры численного интегрирования (внутренний цикл алгоритма) нормальных напряжений, σ, секущих модулей, , жесткости по всем компонентам расчётного сечения: под сходимостью в таком случае следует подразумевать стремление значений решения дискретной модели к соответствующим значениям решения исходной задачи при стремлении к нулю параметра дискретизации (размера малых областей, Δh×Δb, на которые разбивается сечение).

В статье [8] сходимость численного интегрирования методом Рунге-Кутта определяется условием , где R – функция линейной устойчивости (например, полином 4-го порядка), Δh – шаг разбивки, λ – параметр, определяющий связь между функцией и её производной. В монографии [9] рекомендуется для увеличения скорости сходимости использовать формулу Симпсона (правило одной трети). Вопросам сходимости численных методов посвящены также и другие актуальные зарубежные работы [10–15].

Методика. Исследуем последовательно вначале сходимость итерационного процесса вычислений внешнего цикла алгоритма численного диаграммного метода, а затем перейдём ко внутреннему циклу и вопросу дискретизации расчётной модели.

В работе [7] для стержневых элементов, в которых помимо прочих деформаций возникает изгиб, в самом общем виде постановка задачи для решения её численным диаграммным методом состоит в том, чтобы решить уравнение вида:

,

(3)

с корнем t в интервале [a;b]. Здесь χ – кривизна оси стержня. При этом в качестве границ интервала, как показывает опыт расчётов, можно принять значения a=-0,1, b=0,1 практически для любых железобетонных элементов. Функция g предполагается непрерывной на этом интервале.

Отметим, что при центральном растяжении либо сжатии χ=0. В таком случае в качестве управляющего параметра итерационного алгоритма можно принять осевую жёсткость сечения D11=νbEbAb+νsEsAs.

Вообще говоря, при решении задач, связанных с изгибом железобетонных элементов, в качестве управляющего параметра итерационного алгоритма численного диаграммного метода, вместо кривизны χ, могут быть использованы и другие, связанные с ней параметры: предельный момент – Mult (либо момент трещинообразования – Mcrc), относительные деформации в характерных точках сечения – , , , , , изгибная жёсткость сечения D33, координата нейтральной линии y0 и др. При этом, как показали собственные результаты расчётов, закономерности по сходимости алгоритма (приближения управляющего параметра к точному (аналитическому) своему значению) будут качественно идентичными. Причём  и т.д.

Результаты. Решим уравнение (3) численным методом простой итерации. Так, если известен какой-либо член последовательности χk, например, χ0 [a;b], то χk+1 можно взять . Здесь k=0,1,2…m – соответственно номер текущей итерации и общее количество итераций. Тогда рекуррентная формула метода имеет вид:

.

(4)

Если существует конечный предел  и функция g непрерывна в точке z, переходом к пределу в равенстве (4) получим , то есть число z является корнем уравнения (1). Если z [a;b], то в силу единственности корня на отрезке [a;b] z совпадает с t.

Вычисления по формуле (4) проиллюстрированы на рис. 1.

 

 

 

Рис. 1. К численному методу простой итерации для отыскания кривизны

 

 

Построим графики функций из левой и правой частей уравнения (3), то есть линии y=χ и y=g(χ). Они должны пересекаться в точке с абсциссой t. Взяв некоторое число χ0, вычислим g0) и получим на кривой y=g(χ) точку А0. Линия проекции этой точки на ось Оу пересечёт прямую y=χ в точке В1. Проекция В1 на ось Оχ даёт χ1. Из равенства треугольников ΔОВ1χ1 и ΔОВ1g0) геометрически χ1=g0). Проекция χ1 на кривую y=g(χ) даёт точку А1. Линия проекции этой точки на ось Оу пересечёт прямую y=χ в точке В2. Проекция В2 на ось Оχ даёт χ2. Из равенства треугольников ΔОВ2χ2 и ΔОВ2g1) геометрически χ2=g1). Через какое-то количество итераций m величина χi = χm настолько близко подойдёт к t, что её можно буде считать ответом. Это количество шагов будет определять точность приближения >0 [1].

Далее запишем условия сходимости итерационного процесса решения. Пусть корень t уравнения (3) отделён на отрезке [a;b] длины h. Если на отрезке [c;d] = [a-h;b+h] функция g дифференцируема и найдётся число 0<q<1 такое что

,

(5)

при всех χ [c;d], то итерационная последовательность, предложенная формулой (4), сходится к корню t при любом выборе начального приближения χ0 [a;b] (рис. 2).

 

 

Рис. 2. К вопросу сходимости решения

 

 

Геометрически условие (5) означает, что угол наклона касательной к кривой g в любой точке из интервала [c;d] должен быть меньше 450 (tg450=1), то есть меньше угла наклона прямой y=χ (а он равен ровно 450). В этом случае линии y=χ и y=g(χ) будут иметь пересечение в искомой точке с абсциссой t.

При этом при всех k=1,2,…m числа χk [c;d] и верно неравенство (в теории численных методов оно принимается на основе доказательства соответствующей теоремы):

.

(6)

Это неравенство играет две полезных для нас роли. Во-первых, из него видно, что чем меньше число q, тем быстрее сходится последовательность приближений. Во-вторых, оно является основой для оценки погрешности итерационного метода, о чём чуть ниже.

Если известно, что значения g(χ) находятся в интервале [a;b], то выполнение условия (5) достаточно потребовать лишь на [a;b], тогда необходимость отрезка [c;d] отпадает.

Запишем ещё одно утверждение: если на отрезке [a;b] длины h функция g дифференцируема и

 при всех χ [a;b],

(7)

то определяемая формулой (4) итерационная последовательность не сходится к корню t [a;b] ни при каком χ0t из этого отрезка.

Геометрически условие (7) означает, что если угол наклона касательной к кривой g в каждой точке из интервала [a;b] получается больше 450, то есть больше угла наклона прямой y=χ (а он равен ровно 450), то тогда линии y=χ и y=g(χ) не будут иметь пересечения в рассматриваемом интервале.

Как уже было сказано выше, оценить погрешность итерационного метода можно из неравенства (6), согласно которому справедлива также следующая формула:

.

(8)

Обозначим f(χ)=χ-g(χ). Функция f(χ) дифференцируема, причём

(9)

на [c;d]. Учитывая определение функции f и то, что f(t)=0, имеем . Применив сначала теорему Лагранжа с некоторым числом dn между t и xi, а затем неравенство (1), получим:

.

(10)

Модуль разности  можно оценить и сверху. Поскольку , на основе теоремы Лагранжа с числом pn между  и неравенства (10), получим

.

(11)

Чтобы получить требуемую оценку (8), надо выделить  из неравенства (10) и учесть (11).

Таким образом, если задана точность приближённого корня Δ>0, то итерационный процесс необходимо закончить при выполнении условия

(12)

и взять .

Условие (12) и есть оценка погрешности численного метода простой итерации.

Число 0<q<1 может быть принято произвольно, удобно взять q=0,5, тогда из (12) следует

.

(13)

Мы получили строгое математическое обоснование для оценки точности (погрешности) численного диаграммного метода в случае изгиба или внецентренного сжатия. В относительных величинах условие (13) запишется:

.

(14)

При этом по смыслу это и есть критерий сходимости по Чебышеву – см. формулу (2).

Рассмотрим теперь кратко сходимость дискретизации нелинейной деформационной модели нормального сечения при выполнении процедуры численного интегрирования (внутренний цикл алгоритма) изгибной жёсткости на примере бетонной части поперечного сечения  (арматура дискретизации согласно численному диаграммному методу не подвергается, поэтому в исследовании сходимости с целью упрощения её жёсткость не учитываем). Для рассматриваемого примера , где ,  – сложные нелинейные функции многих переменных, получить аналитические формулы, для которых в принципе возможно и они будут довольно громоздкими, но в рамках данных исследований в этом нет необходимости. Тем не менее, функция  может быть аппроксимирована полиномом нулевой, первой и четвёртой степени и соответственно для её вычисления используют формулы численного интегрирования прямоугольников (левых, правых и срединных), трапеций и Симпсона:

 

 – левые прямоугольники, степень полинома mp=0;

 – правые прямоугольники, mp=0;

 – средние прямоугольники, mp=1;

 – трапеции, mp=1;

 – формула Симпсона, mp=3.

(15)

 

В СП 63.13330 применяется формула правых либо левых прямоугольников (не уточняется), как наиболее простая.

Получить аналитически критерий сходимости можно на основе остаточного члена той или иной квадратурной формулы (15) в виде

,

(16)

где  заданная предельная погрешность [1].

Изменяя шаг дискретизации Δh расчётной схемы, можно добиться выполнения условия (16). При этом , когда .

Исследуем вопрос сходимости численного диаграммного метода на примере железобетонного изгибаемого элемента прямоугольного профиля, b×h=200×500 мм, изготовленного из тяжёлого бетона класса по прочности В10-В60 – var. Для бетона используется усовершенствованная криволинейная диаграмма Карпенко Н.И. [2], для арматуры – двухлинейная Прандтля по СП 63.13330. Площадь сечения нижней растянутой арматуры As – переменная (var), верхнее армирование – конструктивное (2Ø12 А500С). При этом общий процент армирования сечения μ=(As+A's)/(bh) меняется от 0,5 до 3 %. Привязка арматуры к граням бетона: as=a's=30 мм. Для удобства анализа решение уравнения (1) представим в виде известной зависимости , из неё получим  – предельный изгибающий момент, который способно воспринять рассматриваемое железобетонное сечение. Для определения Mult,k воспользуемся ранее предложенным алгоритмом [2], но при этом будем вычислять его на каждой итерации, количество которых примем m=1…10 – var. Количество разбиений на элементарные площадки по высоте сечения примем n=20 – const. Начальное приближение кривизны и координаты уровня нулевой линии соответственно:  либо , . Результаты вычисления Mult,k сведём в таблицы 1 и 2.

 

Таблица 1

Результаты вычисления Mult,k, кН×м при

 

Конструирование

Итерации

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

В10, μ=0,5%

0

80.722

51.095

41.854

40.559

40.594

40.751

40.708

40.753

40.764

2

В35, μ=0,5%

0

178.785

82.246

54.464

48.753

47.719

47.368

47.369

47.37

47.37

3

В60, μ=0,5%

0

247.317

98.665

59.417

50.78

49.507

49.399

49.382

49.379

49.379

4

В10, μ=1,75%

0

96.536

104.782

105.648

106.592

107.136

107.324

107.387

107.408

107.415

5

В35, μ=1,75%

0

202.189

171.924

164.691

165.212

165.723

165.86

165.894

165.903

165.905

6

В60, μ=1,75%

0

274.067

203.775

187.29

185.479

184.952

184.962

184.964

184.964

184.964

7

В10, μ=3,0%

0

105.915

128.031

128.436

128.811

128.885

128.998

129.042

129.059

129.065

8

В35, μ=3,0%

0

219.958

227.188

224.973

225.769

226.303

226.449

226.488

226.498

226.5

9

В60, μ=3,0%

0

295.71

272.963

264.561

263.699

263.729

263.739

263.741

263.741

263.741

Таблица 2

Результаты вычисления Mult,k, кН×м при

 

Конструи-рование

Итерации

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

В10, μ=0,5%

182.656

43.489

40.874

40.497

40.714

40.789

40.722

40.756

40.765

40.768

2

В35, μ=0,5%

320.565

66.208

51.036

47.874

47.366

47.369

47.37

47.37

47.37

47.37

3

В60, μ=0,5%

365.497

83.148

55.728

50.5

49.483

49.395

49.381

49.379

49.379

49.379

4

В10, μ=1,75%

208.476

107.754

107.529

107.455

107.431

107.423

107.42

107.419

107.419

107.419

5

В35, μ=1,75%

347.837

165.594

164.813

165.609

165.83

165.887

165.901

165.904

165.905

165.905

6

В60, μ=1,75%

392.95

192.661

185.765

184.947

184.959

184.963

184.964

184.964

184.964

184.964

7

В10, μ=3,0%

230.016

134.103

130.423

129.502

129.222

129.125

129.09

129.077

129.072

129.07

8

В35, μ=3,0%

371.92

225.143

225.856

226.328

226.456

226.49

226.498

226.5

226.501

226.501

9

В60, μ=3,0%

417.493

266.654

264.253

263.712

263.735

263.74

263.741

263.741

263.741

263.741

 

Представим численные данные графически в системе координат «  – k» – для табл. 1, и «  – k» – для табл. 2, где , ,  – предельный момент соответственно на текущей k-й, 1-й и 2-й итерациях.

Для табличных численных данных на 1-й и 10-й (последней) итерациях построим аппроксимирующую функцию двух переменных в виде полинома 2-й степени (двумерную полиномиальную регрессию порядка nP=2): , где ,  либо  ( ). Для полиномиальной поверхности порядка nP количество точек аппроксимации должно быть больше или равно  – условие выполняется. Средствами ПК MahtCAD, применяя встроенную функцию regress/interp, построим следующие поверхности 2-го порядка, представленные на рис. 3.

Для дальнейшего изучения сходимости на рассматриваемом примере уравнение (5) запишем так:

,

(17)

где q, напомним – произвольное число, удовлетворяющее неравенству 0<q<1. Примем q=0,5.

В выражении (17) производную слева представим численно через соответствующие приращения функции  и аргумента k+1-k=1, тогда:

.

(18)

Результаты расчёта левой части формулы (16) представим в таблицах ниже.

 

 

Таблица 3

Результаты вычисления левой части (16) при

Конструирование

Итерации

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

В10, μ=0,5%

-

80,722

29,627

9,241

1,295

0,035

0,157

0,043

0,045

0,011

2

В35, μ=0,5%

-

178,785

96,539

27,782

5,711

1,034

0,351

0,001

0,001

0

3

В60, μ=0,5%

-

247,317

148,652

39,248

8,637

1,273

0,108

0,017

0,003

0

4

В10, μ=1,75%

-

96,536

8,246

0,866

0,944

0,544

0,188

0,063

0,021

0,007

5

В35, μ=1,75%

-

202,189

30,265

7,233

0,521

0,511

0,137

0,034

0,009

0,002

6

В60, μ=1,75%

-

274,067

70,292

16,485

1,811

0,527

0,01

0,002

0

0

7

В10, μ=3,0%

-

105,915

22,116

0,405

0,375

0,074

0,113

0,044

0,017

0,006

8

В35, μ=3,0%

-

219,958

7,23

2,215

0,796

0,534

0,146

0,039

0,01

0,002

9

В60, μ=3,0%

-

295,71

22,747

8,402

0,862

0,03

0,01

0,002

0

0

 

 

Таблица 4

Результаты вычисления левой части (16) при

 

Конструирование

Итерации

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

В10, μ=0,5%

-

139,167

2,615

0,377

0,217

0,075

0,067

0,034

0,009

0,003

2

В35, μ=0,5%

-

254,357

15,172

3,162

0,508

0,003

0,001

0

0

0

3

В60, μ=0,5%

-

282,349

27,42

5,228

1,017

0,088

0,014

0,002

0

0

4

В10, μ=1,75%

-

100,722

0,225

0,074

0,024

0,008

0,003

0,001

0

0

5

В35, μ=1,75%

-

182,243

0,781

0,796

0,221

0,057

0,014

0,003

0,001

0

6

В60, μ=1,75%

-

200,289

6,896

0,818

0,012

0,004

0,001

0

0

0

7

В10, μ=3,0%

-

95,913

3,68

0,921

0,28

0,097

0,035

0,013

0,005

0,002

8

В35, μ=3,0%

-

146,777

0,713

0,472

0,128

0,034

0,008

0,002

0,001

0

9

В60, μ=3,0%

-

150,839

2,401

0,541

0,023

0,005

0,001

0

0

0

а)                                                                                  б)

  

Рис. 2. Графики зависимости «  – k» при  (а) и «  – k» при  
(б) для различных вариантов конструирования железобетонного сечения 1…9 (см. табл. 1, 2)

 

 

а)                                                                                                б)

  

в)                                                                                                г)

  

Рис. 2. Графики двумерной полиномиальной регрессии  для случая  (а, б) и  (в, г):
1 – на 10-й (последней итерации), 2 – на 1-й итерации (а, б) либо 2-й итерации (в, г)

 

Таблица 4

Результаты вычисления левой части (16) при

 

Конструирование

Итерации

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

В10, μ=0,5%

-

139,167

2,615

0,377

0,217

0,075

0,067

0,034

0,009

0,003

2

В35, μ=0,5%

-

254,357

15,172

3,162

0,508

0,003

0,001

0

0

0

3

В60, μ=0,5%

-

282,349

27,42

5,228

1,017

0,088

0,014

0,002

0

0

4

В10, μ=1,75%

-

100,722

0,225

0,074

0,024

0,008

0,003

0,001

0

0

5

В35, μ=1,75%

-

182,243

0,781

0,796

0,221

0,057

0,014

0,003

0,001

0

6

В60, μ=1,75%

-

200,289

6,896

0,818

0,012

0,004

0,001

0

0

0

7

В10, μ=3,0%

-

95,913

3,68

0,921

0,28

0,097

0,035

0,013

0,005

0,002

8

В35, μ=3,0%

-

146,777

0,713

0,472

0,128

0,034

0,008

0,002

0,001

0

9

В60, μ=3,0%

-

150,839

2,401

0,541

0,023

0,005

0,001

0

0

0

 

В таблицах 3 и 4 цветом выделены значения производной, удовлетворяющие неравенству (16).

Установлены следующие закономерности:

1 – для всех рассмотренных вариантов конструирования итерационный процесс вычислений сходится после 6-й итерации при  и после 4-й итерации при , при этом относительная погрешность расчёта составляет менее δ<1 %;

2 – с увеличением класса бетона по прочности отношения  и  падают, исключение составляют сильно армированные элементы при , для них  – растёт; соответственно в первом случае увеличение прочности бетона, а во втором – её уменьшение, приводит к необходимости увеличения числа итераций для обеспечения сходимости с заданной точностью;

3 – с увеличением процента армирования сходимость расчёта улучшается; например, при количестве итераций равном 4, погрешность при варианте конструирования В60, μ=0,5 % составляет 10,3 %, а при В35, μ=3,0 % – 0,98 %;

4 – для слабо- и среднеармированных элементов приближение к решению задачи (к корню уравнения ) происходит слева, следовательно, тангенс угла карательной здесь отрицательный, а функция  является убывающей, для сильно армированных элементов наоборот: приближение к решению задачи происходит справа, следовательно, тангенс угла карательной здесь положительный, а функция  является возрастающей; и при каких-то комбинациях значений параметров В и μ может быть достигнут минимум функции , в этом случае уже на 2-й итерации будет обеспечена нулевая погрешность расчёта;

5 – для улучшения сходимости в инженерных расчётах рекомендовано принимать начальное значение кривизны , а количество итераций – не менее 6, что обеспечит не превышение относительной погрешности расчёта δ<1 %.

Теперь перейдём к вопросу о влиянии числа разбиений n расчётного сечения железобетонного элемента на сходимость дискретизации нелинейной деформационной модели. На том же примере, рассмотренном выше, для характерных вариантов конструирования № 3 и 7 вычислим на 10-й итерации значение предельного момента  при числе разбиений равном m=2,5, 10, 15 и 20. Полученные результаты сведём в нижеследующие таблицу и график.

 

Таблица 5

Результаты вычисления Mult,10, кН×м в зависимости от числа разбиений сечения n

 

Конструирование

Число разбиений сечения, n

2

5

10

15

20

3

В60, μ=0,5%

40.863

47.737

49.569

49.451

49.379

7

В10, μ=3,0%

122.093

129.101

129.203

129.124

129.065

 

 

Рис. 3. График зависимости Mult,10, кН×м от числа разбиений сечения n:

1 – для варианта конструирования №3, 2 – для варианта №7

 

 

Таким образом, сходимость дискретизации расчётной модели зависит от конструирования сечения: итерационные вычисления при высоком проценте армирования и низкой прочности бетона сходятся быстрее, чем при низком проценте армирования и высокой прочности бетона. При этом во всех случаях число разбиений n≥10 обеспечивает сходимость с приемлемой погрешностью менее 0,1 %.

Выводы.

1. Представлено теоретическое обоснование критерия сходимости численного диаграммного метода расчёта прочности железобетонных стержневых изгибаемых элементов. Полученный критерий подобен Чебышевой норме.

2. На примере элемента с прямоугольным железобетонным сечением и двойным армированием исследован вопрос сходимости итерационного расчёта прочности. Установлено, что для всех рассмотренных вариантов конструирования итерационный процесс вычислений сходится после 6-й итерации при начальном приближении кривизны  и после 4-й итерации при , при этом относительная погрешность расчёта составляет менее δ<1 %.

3. Для улучшения сходимости в инженерных расчётах рекомендовано принимать начальное значение кривизны , а количество итераций – не менее 6, что обеспечит не превышение относительной погрешности расчёта δ<1 %.

4. Сходимость дискретизации расчётной модели зависит от конструирования сечения: итерационные вычисления при высоком проценте армирования и низкой прочности бетона сходятся быстрее, чем при низком проценте армирования и высокой прочности бетона. При этом во всех случаях число разбиений n≥10 обеспечивает сходимость с приемлемой погрешностью менее 0,1 %.

References

1. Radaykin O.V., Sabitov L.S., Klyuev S.V., Ahtjamova L.Sh., Arakcheev T.P., Darvish A. Accuracy of the numerical diagram method for calculating bar reinforced concrete elements. Bulletin of BSTU named after V.G. Shukhov. 2022. No. 6. Pp. 25-34. DOI:https://doi.org/10.34031/2071-7318-2022-7-6-25-34

2. Kovalenko G.V., Menshchikova N.S. Taking into account the physical nonlinearity of reinforced concrete when assessing changes in the bending stiffness of structures with mixed reinforcement [Uchet fizicheskoj nelinejnosti zhelezobetona pri ocenke izmeneniya izgibnoj zhestkosti konstrukcij so smeshannym armirovaniem]. Systems, methods, technologies. 2010. 2010. No. 1. Pp. 63-67. (rus)

3. Dykhovichny A.A. Statically indeterminate reinforced concrete structures [Staticheski neopredelimye zhelezobetonnye konstrukcii]. Kiev: Budivelnik. 1978. 104 p. (rus)

4. Slivker V.I. Calculation of constructions with nonlinear connections. Studies on the theory of construction [Raschyot konstrukcij s nelinejnymi svyazyami]. Issue XVI. M.: Stroyizdat. 1968. (rus)

5. Klovanich S.F., Bezushko D.I. Finite element method in nonlinear calculations of spatial reinforced concrete structures [Metod konechnyh elementov v nelinejnyh raschetah prostranstvennyh zhelezobetonnyh konstrukcij]. Odessa: ONMU Publishing House. 2009. 89 p. (rus)

6. Karpenko N.I., Travush V.I., Karpenko S.N., Korsun V.I., Petrov A.N., Yeryshev V.A., Yarin L.I., Chepizubov I.G., Moiseenko G.A., Stepanov M.V., Semenova N.G. Methodical manual automated methods for calculating massive reinforced concrete structures under volumetric stress state [Metodicheskoe posobie avtomatizirovannye metody rascheta massivnyh zhelezobetonnyh konstrukcij pri ob"emnom napryazhennom sostoyanii]. Moscow: FAA FTS, 2019. 137 p. (rus)

7. Karpenko N.I., Sokolov B.S., Radaykin O.V. Design of concrete, reinforced concrete, stone and reinforced stone elements and structures with the use of diagram calculation methods: monograph [Proektirovanie betonnyh, zhelezobetonnyh, kamennyh i armokamennyh elementov i konstrukcij s primeneniem diagrammnyh metodov raschyota: monografiya]. Moscow: Publishing House of the ASV, 2019. 194 p. (rus)

8. Boldo S., Faissole F., Chapoutot A. Round-off Error Analysis of Explicit One-Step Numerical Integration Methods // 24th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, Jul 2017, London, United Kingdom [Electronic resource]. System requirements: Adobe Acrobat Reader. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01581794 date of the application 16.02.2022)

9. Hsu T.-R. Applied Engineering Analysis. Wiley & Sons, 2018. 528 p.

10. Nut G., Chiorean I., Blaga P. Convergence and Error of Some Numerical Methods for Solving a Convection-Diffusion Problem. Applied Mathematics. 2013. Vol. 4. No. 5A. Pp. 72-79.

11. Engquist B. Encyclopedia of Applied and Computational Mathematics. Springer, 2015. 312 p.

12. Klibanov M.V., Li J., Zhang W. A globally convergent numerical method for a 3D coefficient inverse problem for a wave-like equation. Mathematics, 2016. 31 p.

13. Amat S., Busquier S. Convergence and numerical analysis of a family of two-step steffensen's methods Computers // Mathematics with Applications. 2005. Vol. 49. No. 1. Pp. 13-22.

14. Chasnov J.R. Numerical Methods. The Hong Kong University of Science and Technology, 2021. 60 p.

15. Turuna D.A., Woldaregay M.M., Duressa G.F. Uniformly Convergent Numerical Method for Singularly Perturbed Convection-Diffusion Problems. Kyungpook Mathematical Journal. 2020. No. 60. Pp. 629-645.


Login or Create
* Forgot password?