Введение. В вибраторах направленного действия используется двойной дебалансный механизм, представляющий собой два вибратора с круговыми колебаниями и дебалансными валами, вращающимися с одинаковой скоростью в разные стороны [1, 2, 3, 4]. Такой механизм будем называть вибрационным модулем с направленными колебаниями.

В работе рассматривается вибрационный модуль с направленными колебаниями с параллельным расположением осей в одной плоскости. У него проекции сил инерции в плоскости дебалансных валов уравновешиваются, а проекции на ось симметрии складываются, действуют вдоль оси симметрии, изменяясь по гармоническому закону

Fин=mω2Rcosωt

где m  – общая масса дебалансов; R  – эксцентриситет цента масс; ω  – угловая скорость.

Эту силу Fин  называют вынуждающей силой.

Методология. В работе используются классические методы аналитических исследований, в основе которых лежат ряды Фурье.

Основная часть. В качестве вибровозбудителей направленного действия одновременно используются 1,2…4 вибрационных модуля с направленными колебаниями, имеющих 2,4…8 валов, синхронно вращающихся в противоположных направлениях с равными угловыми скоростями и дебалансами. Суммарная вынуждающая сила определяется произведением числа вибрационных модулей K  на вынуждающую силу Fин  одного вибромодуля, вибратора.

Fс=KFин

Как правило, действие вынуждающей силы в одном направлении совершает полезную работу: уплотнение дорожными катками и виброплитами, сортировку на грохотах, погружение или извлечение свай в грунт или из грунта. В противоположном  направлении, в направлении холостого хода,  действие вынуждающей силы направлено на восстановление энергии и подъём ударного инструмента. Рассмотрим случай вибропогружения свай.

Обозначим вынуждающую инерционную силу в рабочем направлении Fd  и назовем её динамической силой погружения, а в противоположном направлении Fn  - силой подъема. В случае приближения значения силы подъема Fn  к весу вибропогружателя или его превышения, вибропогружение может перейти в вибротрамбование с отрывом и последующим ударом о поверхность, что является не желательным эффектом. Отрыв вибропогружателя исключают или компенсируют «пригрузом», создающим необходимую силу прижатия погружателя к грунту.

Задачей работы является уменьшение вертикальной силы подъема Fn  при максимальной силе погружения Fd . Соотношение этих сил назовем динамичностью системы.

dc=FdFn

В некоторых работах это соотношение называют асимметрией направленной вынуждающей силы.

Действующие инерционные силы являются внутренними силами. При их воздействии нельзя изменить импульс (количество движения). Закон сохранения импульса справедлив и для системы, на которую действуют внешние силы, если Rвн = 0. Центр инерции вибровозбудителя движется так, как двигалась бы материальная точка, помещенная в центре инерции, и в ней были бы сконцентрированы все массы точек и силы, действующие на точки. Центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью, в частности равной нулю.

Из 0TFdt  = 0 следует (рис. 1):

F1t1=F2t2=S1=S ₂     или   dc=F1F2=t2t1

Очевидно, величины сил обратно пропорциональны времени их действия. Это модель сохранения импульса для схемы сил, представленных на рис. 1.

Подобный закон изменения силы с периодом  можно получить, используя тригонометрический ряд, членом которого являлась бы сила инерции, создаваемая двухдебалансным вибратором направленных колебаний.

В поисках тригонометрического ряда имеющего своей суммой некоторую заданную функцию f(x)  изменения силы, математики в первую очередь советуют обратиться к ряду Фурье [5]. Он имеет наименьшую среднеквадратическую ошибку при любом фиксированном числе членов ряда n .

Рис. 1. Соотношение погружающей (F₁) и подъёмной силы (F₂) при ударе

t₁ – время действия погружающей силы, t₂ – время действия подъёмной силы

Для четной функции f(x)  ряд Фурье имеет вид:

fx=a02+n=1∞ancosnx ,

где a0=2π0πfxdx;    an=2π0πf(x)cosnxdx

Свойства ряда Фурье

1. a02=1π0πfxdx=f(x)  – среднее арифметическое функции на отрезке [0;π ];
2. 0πancosnxdx =0, это свойство характеризует соблюдение закона сохранения импульса за период π, (0πFинdφ=0 ).
3. При x=0

n=1∞an=f0-a02=Fd                 (1)

При x=π                        

n=1∞(-1)nan=fπ2-a02=-Fn        (2)

Уравнения (1) и (2) можно применять для оценки точности приближения ряда Фурье к f(x)  при конечном числе n , n=N .

4. Динамичность системы для монотонно убывающей функции:

dcy=FdFn=f0-f(x)f(x)

Сравним ряды Фурье для нескольких функций:

1. Разложение в ряд Фурье по косинусам идеальной (осесимметричной, четной) функции, заданной условиями

fx=1, 0≤x≤h 0,h<x<π

имеет вид [5]

fx=2hπ12+n=1∞sinnhnhcosnx, 0≤x≤π.

за исключением точек разрыва x=h , где fx=12.

Среднее арифметическое y=hπ ; dc=πh-1.

Для анализа ряда, преобразуем слагаемое в виде

sinnhcosnx=12sinnh-nx+sinnh+nx=12sinnx+h-sinn(x-h),

где ∓h  является сдвигом фазы (сдвигом начала координат).

Тогда скорость схождения ряда характеризуется отношением: 1nh ; т.е. она обратно пропорциональна номеру члена ряда  n в первой степени.

2. Для более гладких функций вида

yx=chax=eax-e-ax2

ряд имеет вид (см. табл.),

yx=2πshaπ12a+n=1∞(-1)nan2+a2cosnx, -π≤x≤π.

где  an=  (-1)nan2+a2   коэффициент.

Ряд убывает обратно пропорционально n2 , т.е. значительно быстрее выше приведенной функции;

3. Для функции вида

а динамичность системы

поскольку  то

ряд  представляем в таблице.

4. В качестве базовой примем функцию  на интервале

.

Ряд представим или в виде

или в виде

Ряд конечен и имеет ровно  переменных членов (от  до ).

Таким образом, в количестве базовой функции, разлагаемой в ряд Фурье, целесообразно применить более гладкие функции, причем, ряд Фурье для функции  на
отрезке -π<x<π    имеет конечное число членов, равное m.

При одной и той же динамичности системы значимость коэффициентов при высоких гармониках меньше значимости коэффициентов при тех же гармониках для таких функций как:  и

Согласование параметров вибраторов с рядом Фурье

Ряд Фурье

где  и

Произведение сомножителя на ряд дает изменение силы.

так как

то

Закон изменение силы

где  или величина дисбаланса -го вала

                        (3)

Таким образом, показано, что соотношение максимальной силы погружения  и силы подъёма  характеризуемое динамичностью системы  и может изменяться за счёт конструктивных решений в достаточно широком диапазоне. Оптимальное значение динамичности системы для технических задач, очевидно, следует принимать в пределах 2,5…4,0.

Таблица

Динамичность системы при сложении колебаний

Продолжение таблицы