Belgorod, Belgorod, Russian Federation
Belgorod, Russian Federation
Belgorod, Russian Federation
Belgorod, Russian Federation
GRNTI 55.39 Химическое и нефтяное машиностроение
BBK 35 Химическая технология. Химические производства
Currently, mills are widely used, which are based on the principle of crushing and abrasion. One of these mills is a disk mill with conical working surfaces. The angle of inclination of the working surfaces to the horizon should exceed the angle of natural slope of the crushed material. In this article the analytical expression allowing to define value of the power spent for grinding of the particle which is in a gap between two conical surfaces is received. Schemes for determination of the power spent for grinding of a particle by abrasion and crushing between two conical surfaces are presented. The analysis of the obtained relations leads to the conclusion that the power consumed for particle grinding depends on geometrical and technological parameters.In this paper we obtain an analytical expression that allows us to determine the value of the power expended for grinding a particle in the gap between two conical surfaces. Schemes for determining the power expended for grinding a particle by abrasion and impact between two conical surfaces are presented. An analysis of the correlation obtained allows us to conclude that the power consumed for grinding the particle depends on the geometric and technological parameters.
conical surface, grinding, particle, power
Кинетическая энергия частицы материала сферической формы при её попадании в область истирания, которая представлена на рис.1 [1], представляющую зазор между двумя коническими поверхностями, которые являются по форме двумя усеченными конусами, вращающимися в противоположных направлениях с постоянной угловой скоростью «ω», определяется следующим соотношением [2]:
(1)
где Iч – момент инерции сферической частицы материала, равный:
(2)
здесь m – масса сферической частицы материала с радиусом «r».
Рис. 1. Схема движения частицы в зазоре между
двумя коническими поверхностями, вращающимися в противоположных направлениях
При движении сферической частицы материала в зазоре между двумя коническими поверхностями вдоль оси симметрии в основном под действием центробежной силы она уменьшается в размерах от Rн до Rк за счет процесса истирания.
На основании сказанного изменяется масса сферической частицы согласно соотношению:
(3)
где ρ – плотность частицы материала.
С учетом (3) выражение (2) принимает вид:
(4)
На основании соотношения (1) изменение кинетической энергии сферической частицы материала будет определяться соотношением:
(5)
Согласно (4) находим, что
(6)
Подстановка (6) в (5) позволяет получить соотношение следующего вида:
(7)
Для измельчения частицы материала массой (3) истиранием при её движении в рассматриваемой области необходимо затратить мощность «P1», равную [2]:
(8)
где n – частота вращения сферической частицы материала.
Величина мощности Pдоп, которую необходимо затратить для прохождения частицы через рассматриваемую область частиц материала числом n0, будет определяться соотношением вида:
(9)
где число частиц n0 с массой материала M связано соотношением:
(10)
Подстановка (10), (8) с учетом (3) приводит к выражению следующего вида:
. (11)
Таким образом, полученное соотношение (11) определяет величину мощности, которую необходимо затратить на дополнительное измельчение частиц материала истиранием. Из формулы (11) видно, что данная мощность зависит от массы частиц, находящихся в зазоре между коническими поверхностями, частоты вращения конусов, частоты вращения сферической частицы, а также соотношения начального и конечного размеров сферических частиц. В случае, если образующие конических поверхностей оснащены прямолинейными ребрами (рис. 2), то величина мощности, которую необходимо затратить на измельчение материала в зазоре между ребристыми коническими поверхностями определяется следующим соотношением:
(12)
где A – величина работы, затрачиваемой на формирование зоны разрушения в объеме сферической частицы материала диаметром «d0»;
ω – частота вращения конических ребристых поверхностей;
– количество ребер.
Рис. 2. Расчетная схема для определения угла взаимодействия ребра конической поверхности с частицей сферической формы радиуса rм.
Согласно результату работы [3], значение работы по формированию зоны разрушения в результате удара ребрами конической поверхности по частице материала определяется следующим выражением:
, (13)
где ν – коэффициент Пуассона; σр – величина напряжения, приводящая к разрушению частицы материала; d – средний размер частиц материала в результате разрушения исходной частицы; Q – величина кинетической энергии, вводимой в зону разрушения.
Значение величины Q0 определяется следующей величиной [3]:
, (14)
здесь E – модуль Юнга материала частицы.
В свою очередь, величина кинетической энергии, вводимой в зону разрушения, определяется соотношением вида:
(15)
(16)
где Ik – момент инерции ребристой конической поверхности (рис. 3), равный [4]:
(17)
где ρ – плотность материала частицы; H1 – высота усечённого конуса; R – больший радиус усеченного конуса; r – меньший радиус усеченного конуса.
Величину угла «γ» можно найти согласно расчетной схемы, представленной на рис. 3.
Рис. 3. Расчётная схема для определения момента инерции усечённого конуса
Согласно данной расчетной схемы находим:
); (18)
α2 = 
- α1; (19)
α3 = α1; (20)
γ = - α3 = - arccos 
). (21)
С учетом (16) и (21) формула (15) принимает вид:
). (22)
Полученное соотношение (22) можно привести к следующему виду:
(23)
Таким образом, полученные соотношения (23), (17, (14), (13) и (12) определяют искомую величину мощности, которая зависит от угловой скорости конических поверхностей, их моментов инерции, момента инерции частицы и геометрических параметров.
1. Patent RF № 2637216 Disintegrator. Semikopenko I A., Slack S.V., Gorban, T.L., Belyaev D.A. Publ. 01.12.17. Bull. No. 34.
2. Tretyak I.V. Math. Universal reference book. M.: publishing House "Eksmo", 2016, 352 .
3. Semikopenko I.A., Voronov V.P., Vyalykh S.V. Mathematical description of the process of preliminary destruction of the material in the shock-reflective node disintegrator. Vestnik Irstu, 2014, no. 10, pp. 139-142.
4. Sivukhin D.V. General course of physics. Vol.1. Mechanics. 4 edition, Moscow: FIZMATLIT, Moscow, MIPT, 2005, 560 p.
