Abstract and keywords
Abstract (English):
Vliyanie fil'tracii podzemnyh vod na prochnost' grunta neobhodimo uchityvat' pri proektirovanii tunneley i gidrotehnicheskih sooruzheniy. Pri prohozhdenii potoka suspenzii cherez poristuyu gornuyu porodu chast' tverdyh chastic zastrevayut v porah i obrazuyut osadok. Osazhdennye chasticy blokiruyut pory i vliyayut na intensivnost' potoka gruntovyh vod. V rabote rassmatrivaetsya odnomernaya matematicheskaya model' fil'tracii monodispersnoy suspenzii v neodnorodnoy poristoy srede. Predpolagaetsya, chto pri zaderzhanii tverdyh chastic suspenzii porami osnovnuyu rol' igraet mehaniko-geometricheskiy mehanizm zahvata chastic. Predlagaemaya model' uchityvaet izmenenie poristosti i pronicaemosti poristoy sredy pri obrazovanii osadka. Polucheno chislennoe reshenie zadachi metodom konechnyh raznostey.

Keywords:
suspenziya, poristaya sreda, zadacha fil'tracii, vzveshennye i osazhdennye chasticy, chislennoe modelirovanie.
Text
Publication text (PDF): Read Download

Введение. При проектировании и строительстве оснований и фундаментов необходимо учитывать влияние фильтрации подземных вод на прочность грунта. Задача фильтрации суспензии в пористой среде описывает изменение характеристик горной породы при осаждении в порах твердых частиц [1–3].

Пористая среда – это твердое тело, содержащее тонкие полые каналы различной длины и поперечного сечения (поры). При прохождении потока суспензии (несущей жидкости с взвешенными частицами) через пористую среду некоторые частицы застревают в порах и образуют осадок. Геометрическая модель захвата частиц предполагает, что частицы застревают на входе малых пор, и беспрепятственно проходят через поры большого поперечного сечения.

Базовая модель фильтрации монодисперсной суспензии предполагает, что скорость частиц в пористой среде постоянна, и осадок не влияет на пористость и проницаемость пористой среды [4–6]. Более сложные модели фильтрации в однородной пористой среде учитывают изменение пористости и проницаемости при образовании осадка, и непостоянство скорости движения взвешенных частиц [7].

В ряде задач фильтрации найдено точное решение [7–9], в других строится асимптотика [10–14]. Если аналитическое решение отсутствует, для решения задачи используются численные методы [15–17].

В работе рассматривается математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде, учитывающая изменение пористости и коэффициента фильтрации при образовании осадка. Суспензия постоянной концентрации впрыскивается в пористую среду, не содержащую взвешенных и осажденных частиц. Задача состоит в нахождении концентраций взвешенных  и осажденных  частиц в пористой среде. Получено численное решение задачи методом конечных разностей [18].

Постановка задачи. Одномерная модель фильтрации суспензии в неоднородной пористой среде с изменяющейся пористостью и проницаемостью состоит из двух уравнений в частных производных

;     (1)

.                       (2)

Здесь коэффициент фильтрации , пористость  и проницаемость пористой среды  являются непрерывными функциями,  неотрицательная,  и  строго положительны при .

Система уравнений (1), (2) рассматривается в области .

Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе фильтра  и в начальный момент времени :

,                          (3)

.              (4)

Условия (3), (4) определяют единственное решение задачи в области W.

Подвижная граница области, заполненной частицами, и пустой части пористой среды называется фронтом концентраций взвешенных и осажденных частиц. Фронт концентраций является характеристической линией уравнения (1), выходящей из начала координат.

Поскольку условия (3) и (4) не согласованы в нуле, то согласно теории характеристик на фронте концентраций решение  имеет сильный разрыв; а решение  – слабый разрыв (разрыв производных первого порядка).  За фронтом концентрации в области  решение положительно ; перед фронтом в  задача  (1)-(4) имеет нулевое решение .

Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц распространяется в пористой среде с переменной скоростью

.                           (5)

Точное решение на входе фильтра. Уравнение (2) на входе фильтра  имеет вид

.                         (6)

Делим обе частей уравнение (6) на

                         (7)

и интегрируем (7) относительно переменной  

.                    (8)

Используя условие (4), преобразуем интеграл в левой части (8)

.                       (9)

Формула (9) задает концентрацию осажденных частиц на входе фильтра.

Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации  называется блокирующим, если он положителен при , и обращается в ноль при . В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной .

Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации  называется блокирующим, если он положителен при , и обращается в ноль при . В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной .

А) Для линейного блокирующего коэффициента фильтрации

,                   (10)

где , интеграл в левой части (9) вычисляется явно:

.            (11)

Концентрация осажденных частиц на входе фильтра для коэффициента фильтрации (10) имеет вид

.           (12)

Б) Для квадратичного блокирующего коэффициента фильтрации

          (13)

интеграл (9) равен

.(14)

Зависимость от времени концентрации осажденных частиц на входе фильтра задается соотношением

.            (15)

Формулы (12), (15) показывают, что функция  монотонно возрастает и при больших значениях времени t стремится к предельному значению .

На рис. 1 а), б) показаны графики концентрации осажденных частиц на входе фильтра для блокирующих коэффициентов фильтрации (12) и (15) для значения параметров .

Численный расчет. Расчет осуществляется методом конечных разностей. Для уравнения (1) применяется TVD-версия схемы Лакса-Вендроффа. Для уравнения (2) используется метод Рунге-Кутта второго порядка. Решение системы (1)-(4) получено в области . Шаг интегрирования по x: , шаг по t: . Схема удовлетворяет условию Куранта-Фридрихса-Леви: .

Численный расчет задачи выполнен для коэффициентов уравнений (1), (2)  , , .

 

 

Описание: S  x=0  dpi300

Описание: S  x=0  dpi300 (2)

Рис. 1. a) Концентрация осажденных частиц .

б) Концентрация осажденных частиц .

 

На рис. 2 а) и б) представлены 3-D графики концентраций взвешенных и осажденных частиц.

 

Описание: Рис

Описание: Рис

Рис. 2. а) Концентрация взвешенных частиц .

б) Концентрация осажденных частиц .

 

 

 

Графики концентраций взвешенных частиц при фиксированном времени  и при фиксированном расстоянии  изображены на рис. 3 а) и б).

 

 

Описание: Рис

Описание: Рис

Рис. 3. а) Концентрация взвешенных частиц .

б) Концентрация взвешенных частиц .

 

Графики концентраций осажденных частиц при фиксированном времени  и при фиксированном расстоянии  изображены на рис. 4 а) и б).

 

Описание: Рис

Описание: Ри

Рис. 4. а) Концентрация осажденных частиц .

 б) Концентрация осажденных частиц .

 

Заключение. В работе найдено численное решение одномерной задачи фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде. В отличие от стандартных моделей, рассматривающих однородную пористую среду, рассчитана задача, в которой пористость и коэффициент фильтрации зависят не только от концентрации осажденных частиц , но и от расстояния  до входа фильтра. Рис. 2 показывает, как взвешенные и осажденные частицы постепенно заполняют пористую среду, двигаясь от входа  к выходу . Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц - граница раздела двух частей пористой среды - пустой и заполненной частицами движется со скоростью , и в некоторый момент времени достигает выхода (рис. 2). В каждой точке  пористой среды происходит накопление осадка. Чем больше значение , тем позже в эту точку доходит фронт концентраций и начинается образование осадка (рис. 2). С ростом осадка скорость прироста осажденных частиц уменьшается. С увеличением времени концентрация осажденных частиц стремится к предельному значению . При больших временах накопление осадка прекращается и концентрация взвешенных частиц стремится к максимальному значению на входе пористой среды .

References

1. Khilar K.C., Fogler H.S. Migrations of fines in porous media. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998. 180 p.

2. Santos A., Bedrikovetsky P., Fontoura S. Analytical micro model for size exclusion: Pore blocking and permeability reduction // Journal of Membrane Science. 2008. Vol. 308. №. 1. Pp. 115-127.

3. Civan F. Reservoir formation damage: fundamentals, modeling, assessment, and mitigation. Gulf Professional Publishing, 3nd ed., 2016. 1044 p.

4. Herzig J.P., Leclerc D.M., Legoff P. Flow of suspensions through porous media - application to deep filtration // Industrial and Engineering Chemistry. 1970. Vol. 62. Pp. 8-35.

5. Vyazmina E.A., Bedrikovetskii P.G., Polyanin A.D. New classes of exact solutions to nonlinear sets of equations in the theory of filtration and convective mass transfer // Theoretical Foundations of Chemical Engineering. 2007. Vol. 41. Iss. 5. Pp. 556-564.

6. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Particle transportation at the filter inlet // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. Vol. 10. Iiss.3. Pp. 17-22.

7. You Z., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Exact Solution for Long-Term Size Exclusion Suspension-Colloidal Transport in Porous Media // Abstract and Applied Analysis. 2013. Vol. 2013. Iss. "Mathematical and Computational Analyses of Flow and Transport Phenomena". 9 p.

8. Kuz'mina L.I., Osipov Yu. V. Raschet fil'tracii s dvumya mehanizmami zahvata chastic // Stroitel'naya mehanika i raschet sooruzheniy. 2017. № 1. S. 59-64.

9. L.I. Kuzmina, Yu.V. Osipov Calculation of filtration of polydisperse suspension in a porous medium // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86. №. 01005. 5 p.

10. You Z., Osipov Y., Bedrikovetsky P., Kuzmina L. Asymptotic model for deep bed filtration // Chemical Engineering Journal. 2014. Vol. 258. Pp. 374-385.

11. Kuzmina L., Osipov Yu. Asymptotic solution for deep bed filtration with small deposit // Procedia Engineering. 2015. Vol. 111. Pp. 491-494.

12. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Deep Bed Filtration Asymptotics at the Filter Inlet // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 366-370.

13. Kuzmina L.I., Osipov Yu.V. Asymptotic model of filtration in almost stationary mode // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2016. Vol. 12. Iss.1. Pp. 158-163.

14. Kuz'mina L.I., Osipov Yu.V. Asimptotika zadachi fil'tracii suspenzii v poristoy srede // Vestnik MGSU. 2015. № 1. S. 54-62.

15. Golubev V.I., Mihaylov D.N. Modelirovanie dinamiki fil'tracii dvuhchastichnoy suspenzii cherez poristuyu sredu // Trudy MFTI. 2011. T. 3. S. 143-147.

16. Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of Particle Filtration in a Porous Medium with Changing Flow Direction // Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. Pp. 157-161.

17. Galaguz Y.P., Safina G.L. Modeling of fine migration in a porous medium // MATEC Web of Conferences. 2016. Vol. 86. №. 03003. 6 p.

18. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Springer, Dordrecht, 2009. 724 p.

19. Galaguz Yu.P. Realizaciya TVD-shemy chislennogo resheniya zadachi fil'tracii // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. Vol. 13. Iss. 2. Pp. 93-102.


Login or Create
* Forgot password?