ASYMPTOTIC SOLUTION OF SINGLE-PHASE PROBLEM ABOUT DRYING OF MATERIALS AT HIGH VALUES OF TIME
Abstract and keywords
Abstract (English):
In article mathematical drying model of materials with not curved surface is offered on the basis of the classical Stefan problem. Asymptotic solution of single-phase problem is obtained at high values of drying time.

Keywords:
temperature, Stefan problem, heat of vaporization, specific heat, layer of dried material
Text
Publication text (PDF): Read Download

Введение. В таких отраслях промышленности как производство цемента, деревообработка, химическая промышленность и другие применяются процессы сушки материала. Управление такими процессами включает в себя расчёты их продолжительности, затрат тепловой и электрической энергии и, как следствие, себестоимости и рентабельности. Эти расчёты часто требуют оценки количества высохшего материала в зависимости от времени сушки, температурного режима, влажности материала или, наоборот, временных затрат для достижения нужного количества высохшего материала. Предлагаются формулы для таких оценок и способы их применения.

Физическая модель процесса. Рассмотрим сначала физическую модель процесса сушки – основу математической модели.

 

 

Рис. 1. К постановке задачи для неискривлённой поверхности

 

 

Процесс сушки будем рассматривать с того момента, когда интенсивное испарение воды с поверхности материала прекратилось, а в пар превращается только жидкость, находящаяся внутри материала в «защемлённом» состоянии. На поверхности  температура сухого материала   равна температуре фазового перехода 100 °C. Эта поверхность движется внутрь материала по мере поглощения им тепла (теплота парообразования). В начальный момент времени будем считать весь материал с неискривлённой поверхностью  нагретым до 100 °C (то есть ).

За время  фазовая поверхность (плоскость ) переместится на расстояние . При этом в пар превратится масса ,  где  – плотность воды,  – влажность материала, и поглотится количество тепла , где  – удельная теплота парообразования воды. Для выполнения теплового баланса при   должно выполняться условие Стефана:

,

где  – коэффициент теплопроводности сухого материала. На границе газ-материал ( ) выполняется условие теплообмена:

,

где  – коэффициент теплообмена.

Математическая модель. Обозначив для краткости , , , и записав условие Стефана в виде  [1], получим математическую модель высыхания материала с неискривлённой поверхностью:

,  ,  ;          (1)

,  ;         (2)

,  ;                    (3)

,  ;                 (4)

;                              (5)

где  – коэффициент температуропроводности сухого материала с удельной теплоёмкостью  и плотностью .

Здесь искомой является зависимость размера слоя высохшего материала от времени . Эту зависимость можно получить в виде степенного ряда [2]:

 

 (6)

 

Отсюда можно получить представление о ходе процесса сушки, но только лишь в его начале. Для оценок  за длительные промежутки времени потребовалась бы трудоёмкая работа по вычислению других слагаемых в (6) при неизвестном интервале сходимости этого ряда.

Верхнюю границу для  при длительном процессе сушки можно получить, рассмотрев идеальный материал с нулевой удельной теплоёмкостью , не поглощающий тепло. В этом случае , а (1) принимает вид: . Отсюда . Согласно (2) и (3) определяем произвольные функции   и , а затем решаем задачу Коши (4) и (5), получаем

 

или, после умножения и деления на сопряжённое выражение

.                      (7)

Так как всё тепло в идеальном материале идёт только на испарение, то , . Из (7), в частности, следует, что даже для идеального материала при данных условиях скорость роста слоя высохшего материала  стремится к нулю при , а, следовательно,  тоже.

Далее рассмотрим реальный материал. Продифференцируем (3) по :

.   (8)

Записав (4) в виде  и подставив в (8), получим

                 (9)

Так как при  (1) имеет вид , то учитывая (9), получим

.

Считая  параметром, отсюда получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Из него находим . Заменив здесь произвольную постоянную  произвольной функцией времени , получим

.         (10)

Следовательно, в соответствии с (4)

.                    (11)

Умножив обе части (11) на , получим

.         (12)

Интегрируя по  уравнение (10), получим:

, (13)

где    произвольная функция.

Эта функция зависит только от времени  и не зависит от , а это возможно лишь при , то есть .

Из (13) в соответствии с (3) имеем:

,

отсюда

.

Но при достаточно большой продолжительности сушки температура поверхности высохшего материала  возрастает и выравнивается с температурой газа . Таким образом,

,

а потому возрастает и величина , следовательно,

.

Отсюда

.      (14)

Интегрируя (12), получим

,

отсюда

.

Переходя здесь к пределу при , учитывая, что в силу (14) интеграл расходится, по правилу Лопиталя имеем:

.

Это значит, что при больших значениях  величина  асимптотически стремится к значениям

,           (15)

оставаясь меньше их.

Для обеспечения большей точности расчётов дополним (15) ещё одной возможностью оценки . Для этого заметим, что из (12) с учётом (14) следует, что величина  монотонно убывает и ограничена. Тогда, выразив из (11)  и учитывая, что  при , получаем, что , монотонно убывая, стремится к нулю при . Из (11), учитывая (5) и то, что из (6)   , найдём  - максимальное значение . Заменяя в (11)  максимальным значением, получим

.

Интегрируя это уравнение с начальным условием , получим

.            (16)

Очевидно, что истинное значение . Сравнивая (7) и (16), заметим, что при  величины  и  совпадают, при  имеем  , а при   . Представим графически полученные зависимости (для случая ).

 

 

Рис. 2. К оценке

 

 

Выводы. Обозначим , тогда при  имеем , следовательно, истинное значение  надо оценивать как  при  и как  при ,

где  – корень уравнения  (см. рис. 2).

При  имеем , поэтому истинное значение  надо оценивать как  при  и как  при  где  – корень уравнения .

Полученные формулы для , ,  удобны для практического применения при организации и расчёте технологических процессов сушки материалов в различных отраслях промышленности.

References

1. Tihonov A.N., Samarskiy A.A. Urav-neniya matematicheskoy fiziki. M: Izd-vo MGU, 2004. 798 s.

2. Petrashev V.I. Ob ocenke tolschiny vysohshego sloya shlama v cementnoy pechi // Izvestiya vuzov, «Stroitel'stvo». 2000. № 10(502). S. 124-129.

3. Fedorenko B.Z. Ocenki teplotehnolo-gicheskih processov v cepnyh zavesah cement-nyh pechey / Matematicheskoe modelirovanie tehnologicheskih processov v proizvodstve stroitel'nyh materialov i konstrukciy // Sb. nauchn. Trudov, Belgorod: BelGTASM, 1998. S. 10 - 16.

4. Mushtaev V.I., Ul'yanov V.M. Sushka dispersnyh materialov. M.: Himiya, 1988. 352 s.

5. Rubinshteyn L.I. Problema Stefana. Riga: Zvayzgne, 1967. 458 s.

6. Meyrmanov A.M. Zadacha Stefana. No-vosibirsk: Nauka, 1986. 239 s.

7. Lykov M.V. Sushka v himicheskoy pro-myshlennosti. M.: Himiya, 1988. 352 s.

8. Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdyh tel. M.: Vysshaya shkola, 2001. 550 s.

9. Danilyuk I.I. O zadache Stefana // Uspehi matematicheskih nauk. 1985. 40:5(245). S. 135-185.

10. Oleynik O.A. Ob odnom metode resheniya obschey zadachi Stefana // Doklady AN SSSR. 1960. № 5. S. 135.

11. Melamed V.G. Svedeniya zadachi Stefana k sisteme obyknovennyh differen-cial'nyh uravneniy // Izvestiya AN SSSR, Seriya: Geofizika. 1958. № 7.


Login or Create
* Forgot password?