Moscow, Russian Federation
Moscow, Russian Federation
GRNTI 67.11 Строительные конструкции
BBK 385 Строительные конструкции
The article proposes a method of continuous plates design supported by flexible bearings, that can be applied for design of reinforced concrete (RC) multispan slabs resting on beams inside weaving factories buildings. The solution of the problem utilizes on approximate substitution of resolving system of differential equations with the finite-difference equations of consequent approximation method. In order to illustrate the proposed method, an example of design calculation procedure for continuous two-span slab is solved. Proposed method is defined by fast convergence, algorithm simplicity which results in less grid amount needed for accurate results. This application of this method is advisable in design practice for justifying calculations, follow-up of calculations made by commercial finite-element software.
continuous plate, flexible bearings, finite-difference, justifying calculations, consequent approx-imations method
Распространенным типом перекрытий промышленных зданий является монолитное перекрытие с опиранием на систему балок. Ниже предложена приближенная методика определения напряженно-деформированного состояния таких систем. При моделировании совместной работы плиты перекрытия и поддерживающих ее балок пренебрегаем силами трения между монолитной плитой и поддерживающими её балками [6]. Считаем, что балки являются упругоподатливыми опорами и воспринимают только вертикальную составляющую нагрузки [5].
Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности плиты [1]:
, (1)
где W – прогиб; q – распределенная нагрузка;
D – цилиндрическая жесткость плиты постоянной толщины.
Представим (1) в виде системы двух дифференциальных уравнений записанных в безразмерном виде [2],[4],[7]:
(2)
(3)
где
где а – длина стороны плиты; – интенсивность нагрузки в какой-либо точке; – коэффициент Пуассона; Mx и Мy – значения изгибающих моментов вдоль осей x и y, соответственно.
Разностное уравнение, аппроксимирующее (2) по МПА [2], [3], запишем здесь на квадратной сетке ( рис.1) при непрерывных , полагая, что нагрузка в пределах каждого элемента постоянна, но меняется скачкообразно при переходе от одного элемента к другому . При этом будем учитывать конечные разрывы .
Получим:
(4)
где остальные члены с имеют аналогичный смысл; верхние левые индексы при означают номер элемента, которому принадлежит нагрузка (рис.1),
Из сопоставления дифференциальных уравнений (2) и (3) следует, что для аппроксимации последнего по МПА можно в левой части (4) и заменить соответственно на и в выражениях для прогибов. Для случая непрерывных , , и получим
(5)
Рис. 1. Аппроксимация на квадратной сетке
Уравнения (4) и (5) записываются для всех регулярных точек сетки с учетом краевых условий и решаются совместно.
Для расчета шарнирно (свободно) опертых плит достаточно уравнений (4), (5), поскольку в краевых точках сетки = = 0 [2].
После определения и переходим к вычислению внутренних усилий. Для этого предварительно следует вычислить в тех расчетных точках сетки, которые представляют интерес для расчетчика. Записывая формулу на квадратной сетке для случаев непрерывных получим:
(6)
При найденных по (6) значениях и уже известных из решения задачи величины можно определить из (3). После определения , величины безразмерных изгибающих моментов в направлении осей и вычисляются по формулам :.
(7)
В уравнениях, приведенных выше, верхний правый индекс в скобках означает направление, например, - внутренний безразмерный изгибающий момент в направлении оси .
В качестве примера рассмотрим расчет двухпролетной неразрезной пластины, опертой по контуру шарнирно, с центрально расположенной промежуточной упруго-податливой диафрагмой. Пластина загружена равномерно-распределенной нагрузкой p=1 на участке 01-41 и 03-43. Схема пластины с нанесенной расчетной сеткой и номерами узлов приведена на рис. 2 (при h=1/4 ).
Продемонстрируем составление разностных уравнений для точки 22. В данной точке неизвестными являются значения трех величин: изгибающего момента m22 , прогиба плиты w22 и . – скачка в функции поперечной силы в направлении η, обусловленного реакцией со стороны балки. С учетом симметрии задачи уравнение (4) примет следующий вид:
(8)
Уравнение (5) для той же точки примет такой вид:
( 9)
|
P=1 |
|
A |
|
A |
|
A - A |
|
40 |
|
30 |
|
20 |
|
10 |
|
04 |
|
03 |
|
01 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1/4 |
|
1 |
|
ξ |
|
η |
|
00 |
|
02 |
|
14 |
|
24 |
|
34 |
|
44 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
31 |
|
32 |
|
33 |
|
41 |
|
42 |
|
43 |
Полученные два уравнения необходимо дополнить выражением для вертикальной реакции, подчиняющейся гипотезе Винклера и действующей на плиту со стороны балки, пропорциональной жесткости опоры
= (10)
В реальных расчетах жесткость должна быть определена для каждой расчетной точки.
Зададимся безразмерным значением жесткости и Тогда, учитывая (10), = Знак минус указывает на то, что реакция направлена снизу вверх. Следует иметь в виду, что для точки 12, как и для всех точек контакта плиты с упругой опорой, необходимо систему уравнений (4) и (5) дополнить выражением (10).
В таблице 1 приведены значения прогиба для двух случаев:
1 – плиты с промежуточной упруго-податливой опорой на сетке h = 1/4;
2 – с абсолютно жесткой опорой.
|
W |
|
0,001528 |
|
0,002249 |
|
0,002101 |
|
0,0030468 |
|
а |
|
Q |
|
0,17754 |
|
0,05794 |
|
0,1385 |
|
0,2256 |
|
0,0437 |
|
б |
|
0,18602 |
|
_ |
|
+ |
|
в |
|
M |
|
0,0155191 |
|
0,0286424736 |
|
0,0360125 |
|
0,0217627 |
Рис. 3. Эпюры безразмерных прогибов (а) и моментов (в) по линиям 10-14(пунктиром) и 20–24(сплошной линией), безразмерных поперечных сил (б) по линии 10-14 (слева) и 20-24 (справа)
Таблица 1
Безразмерные прогибы плиты
( увеличенные в 1000 раз)
|
Варианты |
Величина Шаг |
|
|
|
1 |
1/4 |
2,101 |
3,046 |
|
2 |
1/4 |
0,14 |
0 |
На рис. 3 приведены эпюры безразмерных прогибов, моментов и поперечных сил в направлении η для рассмотренного примера.
Заключение. Предложенная методика обладает быстрой сходимостью, простотой алгоритма, позволяет получать результаты, обладающие высокой точностью при небольшом числе разбиений. Она может быть рекомендована для использования в практике проектных организаций для: выполнения расчетных обоснований, проверки результатов, полученных с использованием коммерческих расчетных комплексов.
1. Timoshenko S.P., Voynovskiy-Kriger C.. Plastinki i obolochki. M.: Izdatel'stvo. «Nauka», 1966. 636 s.
2. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Chislennoe postroenie razryvnyh resheniy zadach stroitel'noy mehaniki. M.: Izd-vo ASV, 2008. 280 s.
3. Gabbasov R.F., Filatov V.V. Chislennyy metod rascheta sostavnyh sterzhney i plastin s absolyutno zhestkimi poperechnymi svyazyami. M.: Izd-vo ASV, 2014. 200 s.
4. Gabbasov R.F. Raschet plit s ispol'zovaniem raznostnyh uravneniy metoda posledovatel'nyh approksimaciy // Stroitel'naya mehanika i raschet sooruzheniy. 1980. №3. S. 27-30.
5. Filatov V.V. O raschete ierazreznyh sostavnyh balok // Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo. 2009. №8. S. 59-60.
6. Gandzhuncev M.I., Kondratenko V.E. Metodika i nekotorye rezul'taty rascheta lesov opalubki monolitnogo perekrytiya // Vestnik BGTU im. V.G. Shuhova. 2015. №2. S. 33-36.
7. Gabbasov R.F., Koppler H. Vergleich der Losing genaherter Differentialgleichungen fur Schalen in elastiseber umgebung mit anderen Berechnungsmethoden // Wiss.Zeitsch.der Hochsch. fur Arch. und Bauw. Weimar, 1974, Heft ¾, Pp.321-325.
