Введение. Вариационные принципы механики представляют собой не только превосходный аппарат для научного толкования наиболее сложных и разнообразных явлений природы и технического творчества, но и оригинальный способ отражения законов движения как таковых.
Вариационная трактовка присуща теории самоорганизации материи. Фундаментальные уравнения физики интерпретируются как траектории, выражаемые экстремалями определенного рода функционалов.
Существует класс дифференциальных уравнений, отображающих физические явления и приобретающих силу закона. Для каждой из этих формулировок можно подобрать функционал, для которых они выступают как уравнения Эйлера-Лагранжа в вариационной постановке задачи. На экстремалях функционал приобретает экстремальные (или стационарные) значения [1].
Долгое время основной проблемой механики деформируемого твердого тела (МДТТ) был анализ его напряженно-деформированного состояния (НДС) под воздействием нагрузки. Основу исследований составляют принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа) и принцип возможных изменений напряженного состояния (принцип Кастильяно), являющиеся экстремальными по своей сути.
С развитием вычислительных средств, стали практически реализуемыми задачи более сложного этапа развития МДТТ – синтеза несущих систем [2–6]. Под этими словами подразумевается не только проектирование формы и структуры среды, но и компоновка нагрузки при оговоренных требованиях эффективного функционирования конструкций [7, 8].
Методика. Проблема синтеза несущих систем включает вариационные задачи на условный экстремум [9–11]. Требования к конструкции выражаются в виде так называемых дополнительных условий – уравнений связи. Функционал, принятый в анализе НДС тела, получает дополнительное слагаемое в виде упомянутого условия с множителем Лагранжа.
Уравнения связи могут иметь как алгебраическую, так и интегральную форму (правая часть – константа). В последнем случае множители Лагранжа являются постоянными, а сама задача классифицируется как изопериметрическая.
Так, целью задачи определения формы конструкции может быть рассосредоточение материала заданного объема таким образом, чтобы функционал потенциальной энергии системы достиг абсолютного минимума.
Традиционная двойственная постановка задачи состоит в минимизации функционала объема материала при заданной величине потенциальной энергии системы или ее производных. При этом произведение множителей Лагранжа в двух задачах составляет единицу, а их решения совпадают с точностью до постоянного множителя.
При линейном физическом законе функционал потенциальной энергии системы равен по модулю функционалу потенциальной энергией деформации [12–15].
Основная часть. Целью настоящей работы является расширение границ традиционной двойственной постановки задач синтеза несущих систем и, как следствие, области использования критерия весовой оптимизации.
Рассмотрим пример. Консоль длиной l нагружена моментом M (рис.1). При заданных модуле продольной упругости E, прогибе конца консоли ν0 и высоте прямоугольного сечения h определить его ширину b(x).
Рис. 1. Консоль
Потенциальная энергия деформации 
находится в зависимости от изгибающих моментов M и величины b(x):
Прогиб консоли в точке 0 имеет вид:
Функционал объема изопериметрической задачи представляем в виде:
Условие его стационарности при вариационном подходе запишем в виде уравнения:
При произвольности вариаций 
и 
должны равняться нулю производные 
.
Из условия 
вытекает уравнение:
или
откуда
Множитель 
определим, используя условие 
, из которого после представления выражения
в виде формулы (7) следует уравнение:
или
откуда
После подстановки выражения (10) в формулу (7) находим:
или
Объем материала имеет вид:
Двойственная постановка задачи включает заданный (или иной) объем тела. Функционал прогиба представляем в виде:
Условие его стационарности запишем в виде уравнения:
Из условия 
вытекает уравнение:
откуда
Множитель 
определим, используя условие 
, из которого после представления выражения в виде формулы (17) следует уравнение:
откуда
что соответствует указанному свойству множителей Лагранжа в изопериметрической задаче. В итоге приходим к формуле (12) для ширины поперечного сечения консоли.
При задании иной величины объема, а именно с коэффициентом k по отношению к значению (13), решение задачи получим с точностью до этого коэффициента.
Сохраним исходные данные предыдущего примера, за исключением параметра b(x), заменяя его высотой сечения h(x).
Функционал принимает вид:
Условие его стационарности представляем в виде:
Следствием является условие 
, из которого вытекает уравнение:
Откуда
Для определения множителя 
используем второе следствие стационарности функционала 
из которого следует уравнение:
или после представления выражения
в виде формулы (23):
откуда
Таким образом,
Вычислив объем материала
можно осуществить двойственную подстановку задачи.
Функционал принимает вид:
Условие его стационарности запишем в виде уравнения:
Из условия 
вытекает уравнение:
откуда
Множитель 
определим, используя условие 
из которого после представления выражения 
в виде формулы (32) следует уравнение:
откуда
В итоге приходим к формуле (27) для высоты поперечного сечения консоли.
Сохраним исходные данные рассмотренного примера за исключением переменной b(x), замененной на переменный модуль продольной упругости E(x). Закон Гука сохраняется, но меняет свой масштаб от сечения к сечению. Такую композицию можно создать, например, на базе бетонов различных классов (в том числе с фибровым армированием [16–20]).
Формирование функционала ведем на основе функции интегрального модуля:
Условия его стационарности представим в виде уравнения:
При произвольности вариаций 
и должны равняются нулю производные 
.
Из условия 
вытекает уравнение:
или
откуда
Множитель определим, используя условие 
, из которого после представления выражения 
в виде формулы (39) следует уравнение:
откуда
После постановки выражения (41) в формулу (39) находим:
Интегральный модуль имеет вид:
Двойственная постановка задачи включает заданный (или иной) интегральный модуль. Функционал прогиба представляем в виде:
Условие его стационарности запишем виде уравнения:
Из условия 
вытекает уравнение:
откуда
Множитель определим, используя условие , из которого после представления выражения 
в виде формулы (47) следует уравнение:
откуда
В итоге приходим к формуле (42) для модуля продольной упругости.
Таким образом, строгое решение задачи минимизации объема материала или интегрального модуля продольной упругости должно подкрепляться возможностью ее двойственной постановки при функционале с энергетическим содержанием.
Остановимся на практической стороне обеспечения переменного модуля продольной упругости. Идея синхронизации конструкции и силового поля возникла в результате анализа функционирования природных систем. Уместно упомянуть конструкционную роль композиционных материалов и, в частности, дискретное и дисперсное армирование.
Одним из видов композиционного материала является фибробетон, в классическом определении представляющий бетонную матрицу с равномерно распределенными по ее объему волокнами.
Волокна различаются по виду материала и соответствующему ему модулю продольной упругости, размерам и некоторым другим признакам. По отношению к модулю упругости бетона волокна могут быть низко- и высокомодульными.
Напряжения в несущих фибробетонных конструкциях передаются от матрицы волокнам через поверхности контакта между ними. Если длина волокна сравнительно небольшая, то напряжение в волокне ниже предела прочности, и волокно, оставаясь цельным, вытесняется из матрицы в результате превышения прочности его сцепления с матрицей. Существует критическая длина волокна, при которой напряжение в нем равно пределу прочности, что приводит к его разрушению.
Параметрами дисперсного армирования являются длина и диаметр волокна, процент армирования по объему элемента конструкции. Испытания образцов позволяют установить зависимость модуля продольной упругости от этих параметров.
В настоящее время для дисперсного армирования используются полимеры, армированные волокнами, которые подчиняются линейному физическому закону вплоть до разрушения. Это накладывает соответствующий отпечаток и на фибробетонные изделия.
Заметим, что при минимизации объема материала нормальные напряжения в консоли не являются постоянными в плоскостях, параллельных ее верхней и нижней поверхностям, так как изгибающий момент имеет постоянную величину, а ширина сечения зависит от x.
Предположим теперь, что наибольшее по модулю напряжение 
имеет постоянную величину по длине консоли, а верхняя и нижняя плоскости представляют экстремальные изоэнергетические поверхности:
по классическим гипотезам прочности 
– удельная поверхностная потенциальная энергия деформации, 
– коэффициент Пуассона).
В этом случае имеем выражения:
(52)
Пропорциональная зависимость между величинами 
и не исключает двойственную постановку задачи, хотя условие 
не является интегральной связью. Величина является как бы прообразом величин 
и в энергетическом плане. В данном случае производится не просто перемена местами функционала и фактора уравнения связи, а вместо последнего вводится новый функционал – потенциальная энергия деформации, непосредственно связанная с напряжением .
Функционал объема имеет вид:
Условие его стационарности представляем в виде:
Из условия 
вытекает уравнение:
откуда
Для определения множителя используем условие: , из которого после представления выражения в виде формулы (57) вытекает уравнение:
откуда
Окончательное выражение ширины сечения имеет вид:
что можно было получить непосредственно из условия прочности.
Вычислив объем материала
переходим к двойственной постановке задачи.
Функционал потенциальной энергии деформации имеет вид:
Условие его стационарности представляем в виде:
Из условия 
вытекает уравнение:
откуда
Для определения множителя 
используем условие: 
, из которого после представления 
в виде формулы (65) получаем уравнение:
откуда
что приводит формулу (65) к виду (60).
Выводы. Таким образом, в задачах синтеза несущих систем критерии минимума объема и интегрального модуля продольной упругости материала тела имеют четкие границы. Они справедливы при возможности постановки двойственной вариационной задачи при дополнительном условии с энергетическим содержанием. Отход от этого положения приводит к уклонению от абсолютных экстремальных характеристик проектируемой конструкции.
