Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Эффективный способ оптимизации нагружения металлических ферм имеет вариационную основу. Универсальный критерий оптимальности связан с минимумом потенциальной энергией системы (дополнительной энергией) в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей материала, а также нагрузки. При однородном линейном материале оптимальную ферму можно представить как квазиравнопрочную систему с внутренними силами Ni/ⱷi, где ⱷi – коэффициент уменьшения расчетного сопротивления металла. Величина ∑Nili (l – длина стержня) является в общем случае характеристикой степени априорной устойчивости фермы, в частном случае (нагрузка на прямой, соединяющей опоры) определяет оптимальный вариант нагружения, соответствующий минимуму объема материала. В качестве численного эксперимента рассмотрено распределение нагрузки ∑Fi=const для фермы с нисходящим (восходящим) раскосом. Установлена независимость оптимального варианта нагружения от структуры решетки фермы.

Ключевые слова:
нагружения фермы, вариационная постановка задачи, критерии оптимальности
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

Введение. Ферма – несущая часть инженерного сооружения (пролетного строения моста, перекрытия здания и т.п.), состоящая из шарнирно соединенных в узлах стержней. Фермы имеют давнюю историю и оправдывают себя рациональным использованием материала [1–13].

Оптимизацию конструкций ферм в результате рационального расположения их элементов впервые осуществил российский инженер В.Г. Шухов в конце XIX века [14]. Решение дано прежде всего на уровне топологии, которая предусматривает расположение узлов и способ их взаимного соединения для образования геометрически неизменяемой системы. Спустя восемь десятилетий появились исследования роли фактора топологии в оптимизации стержневых систем [15]. Но оставалась в стороне сопутствующая проблема – оптимизация их нагружения.

Основная часть. Для существенного прогресса в оптимизации несущих конструкций необходимо понимание того, что искомые топология, геометрия и сечения отдельных элементов системы составляют единство в алгоритме решения проектной задачи. Технические системы и природные конструкции должны быть подчинены единым принципам структурообразования, согласованным с критерием, имеющим энергетическое содержание. Эти принципы согласуются с распределением материала в соответствии с силовыми полями, что соблюдается естественным образом в природных конструкциях [16].

Проблема приобретает специфику в отношении конструкций, для элементов которым необходимо обеспечить устойчивость равновесия. К ним относятся рассматриваемые здесь фермы [17–21].

Качество равновесия определяет потенциальная энергия системы П, в соответствии с которой различают:

  • устойчивое состояние (П=min, δ2П>0 );
  • неустойчивое состояние (П=max, δ2П<0 );
  • безразличное состояние (П=const, δ2П=0 ) как граница между устойчивым и началом неустойчивого положения равновесия (критическое состояние).

Для ферм при вертикальной нагрузке некоторым эквивалентом степени априорной устойчивости может служить сумма произведений из усилий N в стержнях на их длины l. Покажем это на примере балочной фермы (рис. 1).

В табл. 1 даны размеры фермы, внутренние усилия и указанная характеристика.

Рис. 1. Три варианта нагружения балочной фермы

Таблица 1

Сведения о фермах на рис.1

Ферма

Стержни

l

N

Nl

Σ Nl

 

 

Рис. 1, а

1-2

d2

– 0,52F

F d

 

 

F d

2-3

d2

– 0,52F

F d

1-4

d

0,5F

0,5 F d

4-3

d

0,5F

0,5 F d

2-4

d

0

0

 

 

Рис. 1, б

1-2

d2

– 0,52F

F d

 

 

0

2-3

d2

– 0,52F

F d

1-4

d

0,5F

0,5 F d

4-3

d

0,5F

0,5 F d

2-4

d

F

F d

 

 

Рис. 1, в

1-2

d2

0,52F

 F d

 

 

F d

2-3

d2

0,52F

F d

1-4

d

– 0,5F

– 0,5 F d

4-3

d

– 0,5F

 – 0,5 F d

2-4

d

0

0

 

 

Приведем сначала вывод из таблицы в формулировке [8]: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины будет положительна, равная нулю, или отрицательная, в зависимости от того, приложена ли нагрузка ниже прямой, соединяющей опорные точки, на уровне ее, или выше.

Установленный вывод используется в работе [8] для проверки правильности расчета усилий в случае приложения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, и основано на свойстве вириала внешних сил.

Но вывод из таблицы может иметь и другую интерпретацию: для балочной фермы при вертикальной нагрузке алгебраическая сумма произведений из усилий в элементах на их длины нарастает с увеличением степени априорной устойчивости, под которой будем понимать вклад растянутых стержней в величину ΣNl .

В первом случае – это 33%, во втором – 50%, в третьем – 67%. Достигается это, как видим, соответствием расположения материала силовому полю. Во втором случае прежний «нулевой» стержень стал рабочим, в третьем растянутыми оказались длинные стержни. Однако окончательное суждение об оптимальности системы дает энергетический критерий.

Взяв за основу функционал Кастильяно, сформулируем вариационный принцип синтеза системы и нагрузки: «при заданных условиях дополнительная энергия в положении устойчивого равновесия достигает абсолютного минимума по внутренним силам в функциональном пространстве, расширенном за счет полей функций конфигурации и (или) модулей упругости материала, а также нагрузки.

Ограничимся рассмотрением фермы из однородного линейно-упругого материала с модулем продольной упругости Е и расчетным сопротивлением растяжению и сжатию R. Представим виртуальную систему с внутренними силами Ni/i, где ⱷi – коэффициент уменьшения расчетного сопротивления R. Для растянутых стержней он равен единице, а для сжатых принимается исходя из ограничения гибкости элементов пояса и решетки. Искомые площади поперечных сечений Ai сжатых стержней должны иметь соответствующие минимальные радиусы инерции». [17]

При линейно-упругой постановке задачи дополнительная энергия системы равна потенциальной энергии деформации U. Рассмотрим изопериметрическую задачу, в которой предполагается заданным объем материала i=1nАili=V0 , с функционалом

U1=i=1nNi2li2Eφ i2Ai+ μi=1nAili           (1)

где n – число стержней, μ – множитель Лагранжа, имеющий постоянную величину.

Следствием стационарности функционала (1) являются уравнение объема материала и n уравнений из условий ∂U1/∂Ai =0:

-Ni22Eφi2Ai2+μ=0                             (2)

или

12ENi2φi2Ai2=μ=const                   (3)

Это свидетельствует о квазиравнонапряженности фермы. В работе [22] говорится о равнонапряженности, поскольку не рассматривается устойчивость сжатых стержней.

Исходя из условия квазиравнопрочности, можно записать:

Ai=NiφiR ,                           (4)

и выражение U принимает вид:

U=R2Ei=1nNiliφi ,                     (5)

Найдя из (4) представим (5) как Niφi=AiR

U=R22Ei=1nAIli ,                    (6)

Значит минимуму энергии U соответствует минимум объема материала.

В то же время, как видно из формулы (5) при ⱷi = const минимуму энергии U соответствует минимум i=1nNili , что может служить альтернативной характеристикой оптимальности конструкции фермы.

Для фермы на рис. 1 величина U составляет (коэффициент ⱷi принимается равным 0,5):

а) 2,5RE Fd ;

б) 3RE Fd ;

в) 2RE Fd.

В варианте б включение стержня 2-4 увеличило степень априорной устойчивости и в то же время повысило потенциальную энергию деформации по сравнению с вариантом а. Вариант в подтвердил свою оптимальность с позиции минимума величины U.

Рассмотрим оптимизацию расположения нагрузки ΣFi =const  на примере балочной фермы (рис. 2).

Рис. 2.  Ферма с нисходящим раскосом

В табл. 2 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН.

 

 

Таблица 2

Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 2) при 5 вариантах нагрузки

Стержень

F2=10кН, F3=10кН

F2=20кН,

F3=0кН

F2=0кН,

F3=20кН

F2=15кН,

F3=5кН

F2=5кН,

F3=15кН

1-2

2-3

3-4

4-6

3-6

1-5

5-6

2-5

3-5

20,00

20,00

10,00

-14,14

15,00

-22,36

-11,18

           10,00               

-11,18

26,67

26,67

6,67

-9,43

10,00

-29,81

-7,45

20,00

-22,36

13,33

13,33

13,33

-18,86

20,00

-14,91

-14,91

0,00

0,00

 23,33

23,33

8,33

-11,79

12,50

-26,09

-9,32

15,00

-16,77

16,67

16,67

11,67

-16,50

17,50

-18,63

-13,04

5,00

-5,59

 

 

В табл. 3 даны величины ∑|Ni|li и потенциальная энергия деформации U, соответствующие 5 вариантам нагрузки (табл. 2), при Е=2,1·105МПа и R=240МПа.

 

Таблица 3

Величины ∑|Ni|li и потенциальная энергия деформации для 5 вариантов нагрузки

Величины

F2=0кН, F3=20кН

F2=5кН,

F3=15кН

F2=10кН,

F3=10кН

F2=15кН,

F3=5кН

F2=20кН,

F3=0кН

|Ni|li,  кН·м

U, Дж

180

154,3

195

167,1

210

180

225

192,8

240

205,7

 

 

Из табл. 3 видно, что оптимальным вариантом нагрузки, по энергетическому критерию, обеспечивающему минимальный расход материала, является расположение ее суммарной величины в узле 3, в котором сходятся три растянутых и одни «нулевой» стержень. Минимальной величине U соответствует минимум ∑|Ni|li, свидетельствующий, как говорилось выше, о степени априорной устойчивости системы. Эта характеристика может быть альтернативной минимуму величины U при выборе оптимального варианта рассмотренного типа нагрузки.

Для сравнения рассмотрим 5 вариантов нагружения фермы (рис. 3) с теми же геометрическими параметрами.

 

Рис. 3.  Ферма с восходящим раскосом

 

В табл. 4 приведены усилия в стержнях фермы при 5 вариантах нагрузки, составляющей в сумме 20 кН.

Несмотря на изменение величин усилий по сравнению с табл. 2 в связи с изменением топологии фермы данные табл. 3 сохраняются. Это свидетельствует о замечательном свойстве ферм с вертикальной нагрузкой по горизонтальному нижнему поясу – независимости потенциальной энергии деформации от структуры решетки.

 

Таблица 4

Усилия (кН) в стержнях фермы (рис. 3) при 5 вариантах нагрузки

Стержень

F2=10кН, F3=10кН

F2=20кН,

F3=0кН

F2=0кН,

F3=20кН

F2=15кН,

F3=5кН

F2=5кН,

F3=15кН

1-2

2-3

3-4

4-6

3-6

1-5

5-6

2-5

2-6

20,00

10,00

10,00

-14,14

10,00

-22,36

-22,36

            0,00               

14,14

26,67

6,67

6,67

-9,43

0,00

-29,81

-29,81

0,00

28,28

13,33

13,33

13,33

-18,86

20,00

-14,91

-14,91

0,00

0,00

 23,33

8,33

8,33

-11,79

5,00

-26,09

-26,09

0,00

21,21

16,67

11,67

11,67

-16,50

15,00

-18,63

-18,63

0,00

7,07

 

Выводы. В заключение можно сказать, что оптимизация нагрузки на ферму решается сравнением приемлемых вариантов ее распределения. Определяющим фактором является критерий оптимальности для несущей конструкции, вытекающий из вариационного принципа проектной задачи и приводящий к минимуму расхода материала.  В частном случае расположения нагрузки на уровне прямой, соединяющей опорные точки, альтернативным фактором может быть минимум сумм произведений из модулей усилий в элементах на их длины.

Список литературы

1. Maxwell J.C. On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames // The Scientific Papers оf James Clerk Maxwell. 1890. Vol. 2. Pp. 175–177.

2. Michell A.G.M. The limits of economy of material in framestructures // Philosophical Magasine and Jornal of Science. 1904. Vol. 8. sixth Series. No 47.

3. Pippard A.I.S. On a method for the direct design of framed structures having redundant bracing // Tech. Rep. Aero. Res. Comn. London, for Year 1922–1923.

4. Подольский И.С. Пространственные фермы. М.: Гостехиздат, 1931. 351с.

5. Безухов Н.И. Внутренние силы и деформации ферм. М.-Л.: Госстройиздат, 1933. 164 с.

6. Рабинович И.М. К теории статически неопределимых ферм. М.: Транспечать, 1933. 120 с.

7. Хуберян К.М. К расчету статически неопределимых ферм. Тбилиси: НИСоор, 1938. 82 с.

8. Уманский А.А. Статика и кинематика ферм. М.: ГИТТЛ, 1957. 342 с.

9. Киселев В.А. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1976. 511 с.

10. Смоляго Н.А., Яковлев О.А. Совершенствование структуры плоской фермы // Вестник науки и образования Северо-Запада России. 2015. Т. 1. № 1. С. 71–76.

11. Марутян А.С., Оробинская В.Н. Оптимизация конструкций с решетками из круглых и овальных труб // Вестник МГСУ. 2016. № 10. С.45-57.

12. Марутян А.С., Оробинская В.Н. Трехгранные фермы покрытий (перекрытий) и оптимизация их высот // Вестник МГСУ. 2017. Т.12. № 2. С. 172–183.

13. Дегтярь А.Н., Серых И.Р., Панченко Л.А., Чернышева Е.В. Остаточный ресурс конструкций зданий и сооружений // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2017. № 10. С. 94–97.

14. Шухов В.Г. Строительная механика. Избранные труды. М.: Наука, 1977. 193 с.

15. Majid K.I. Optimum design of structures. London: Newnes Butterworths, 1979. 238 p.

16. Roux W. Gesammelte Abhandlungen über Entwicklungsmechanik der Organismen. Bd. 1-2. Leipzig, 1985

17. Юрьев А.Г. Оптимизация топологии и геометрии конструкций. Белгород: Изд-во БГТУ, 2018. 96 с.

18. Зинькова В.А. Оптимизация топологии металлических ферм // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. № 2. С.37–40.

19. Zinkova V.A., Yuriev A.G., Peshkova E.V. Designing of tube trusses without gusset plate with joint connections // International Journal of Applied Engineering Research. 2015. No. 5. Vol. 10. Рp. 12391-12398.

20. Юрьев А.Г., Зинькова В.А., Смоляго Н.А., Яковлев О.А. Оптимизация структуры металлических ферм // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2017. № 7. С.41–45.

21. Юрьев А.Г., Зинькова В.А., Ата Эль-Карим Солиман. Проектировочный расчет фермы // Строительные материалы и изделия. 2019. Т.2. №1. С.37–44.

22. Wasiutynski Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to the equal strength // Bulletin de L'Academie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Techniques, 1960.Vol. 8. No. 6. Pp. 259–268.


Войти или Создать
* Забыли пароль?