МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ ЧЕРЕЗ ОГРАЖДАЮЩУЮ КОНСТРУКЦИЮ
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
В настоящее время основным направлением энергосбережения в массовом строительстве является энергоэффективность конструктивных и объемно-планировочных решений зданий и сооружений. Для оценки теплотехнических качеств ограждения необходимо знать не только величину сопротивления теплопередачи, но также температуры в любой плоскости ограждения при заданных значениях температур воздуха с одной и с другой стороны ограждения. Для понимания и описания процессов теплопередачи, а также определения распределения температуры внутри ограждающих конструкций Табунщиковым Ю.А. и Бродач М.М. была выведена математическая модель теплопередачи через ограждающую конструкцию. При рассмотрении одномерного переноса тепла перпендикулярно поверхности стены на внутренних границах между разнородными материалами ограждающей конструкции предполагается непрерывность функций температуры T(x) и теплового потока Q(x). В статье приведено аналитическое и численное решение краевой задачи для стационарной теплопередачи через многослойную ограждающую конструкцию, а также сравнение полученного решения с действующей нормативной документацией. Было проведено экспериментальное исследование в лаборатории для сравнения теоретического, полученного в математической модели теплопередачи, приведенной в статье, и экспериментального распределения температур, которое показало большую сходимость результатов и подтвердило верность математической модели.

Ключевые слова:
сопротивление теплопередаче, теплопроводность материала, тепловой поток, теплопередача, математическая модель теплопередачи, распределение температуры
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

1. Введение. В современном мире главным направлением новых технологий – является стремление к уменьшению вредных выбросов в атмосферу и сокращение использования невозобновляемых энергетических ресурсов. Один из важнейших факторов, влияющих на объемы выбросов – это сжигание топлива для получения энергии на отопление и выработки электричества. В ответ на этот вызов появились энергосберегающие технологии, которые позволяют уменьшить затраты энергии на эксплуатацию зданий и сооружений. При использовании этих технологий затраты внешней энергии на поддержание комфортного микроклимата в помещении минимизируются, а при применении технологий «пассивного» домостроительства стремятся к нулю. Для определения минимальных затрат на отопление и кондиционирование здания необходимо точно знать сопротивление теплопередачи ограждающей конструкции, а также распределение температуры в ее толще.

2. Теоретическая часть

2.1. Общая модель теплопередачи через ограждающие конструкции

В общем случае ограждающие конструкции являются неоднородными и могут содержать вентилируемые или замкнутые воздушные прослойки, а также источники тепла. Процесс передачи тепла, в общем случае, является нестационарным. При определении математической модели теплопередачи через ограждающую конструкцию будем считать:

- теплотехнические характеристики материалов слоев не зависят от влажности и температуры материала;

- влияние откосов оконного проема, стыков, наружных углов, теплопроводных включений на деформацию температурного поля ограждения корректируется с помощью введения эквивалентных теплотехнических показателей, так что температурное поле конструкции можно считать одномерным;

- теплопередача через конструкцию происходит за счет теплопроводности и фильтрации воздуха;

- имеют место потери (выделения) тепла, связанные с замерзанием (таянием) влаги в материале.

С учетом принятых допущений уравнение теплопроводности для конструкции можно записать в виде [3]:    

T* – температура фазового перехода вода–лед, °С; L – льдистость материала, доли единицы; w – весовая влажность материала, доли единицы;
rw – плотность воды, кг/м3;imel – удельная теплота фазового перехода, Дж/кг; d( xТ*) – дельта-функция Дирака; JF – расход воздуха через единицу поверхности ограждения, кг/(м2×ч); Qsou – удельная мощность источников тепла в ограждении, Вт/м3; СR – удельная теплоемкость воздуха, Дж/(кг×°С); c, r – соответственно удельная теплоемкость в Дж/(кг °С) и плотность материалов слоев ограждения, кг/м3.

Граничное условие на внутренней поверхности ограждения включает количество тепла, передаваемого поверхностью теплопроводностью, количество тепла, воспринимаемого поверхностью в результате лучистого и конвективного теплообмена, источники тепла, обусловленные фазовыми переходами. Граничное условие на наружной поверхности ограждения включает количество тепла, передаваемое поверхностью теплопроводностью, количество тепла, воспринимаемое поверхностью в результате конвективного теплообмена с наружным воздухом, лучистого теплообмена с «окружением», а также источники тепла, обусловленные солнечной радиацией, поглощенной поверхностью, и фазовыми переходами на поверхности. Оба условия имеют достаточно громоздкое математическое выражение [3].

В большинстве случаев для расчета теплоизолирующих свойств ограждающих конструкций можно пренебречь льдистостью и воздухопроницаемостью материала, а также источниками тепла [1]. Вышеприведенная модель при этом существенно не теряет в адекватности, зато значительно упрощается, что немаловажно для инженерных расчетов. Нестационарный теплоперенос при этих допущениях описывается «классическим» уравнением теплопроводности [4], которое в отсутствии источников тепла имеет вид:

Добавляя к этому уравнению граничные условия 1-го рода, с использованием формулы определения температуры на внутренней поверхности и аналогичной формулы для наружной поверхности стены [1], получим достаточно простую краевую задачу.

Для многослойных ограждающих конструкций так же необходимо учесть различные коэффициенты теплопроводности, удельной теплоемкости и плотности материалов различных слоев ограждающей конструкции

3 Краевая задача для стационарной теплопередачи через трёхслойную ограждающую конструкцию

3.1. Постановка задачи

Ограждающая конструкция представляет собой плоскую железобетонную стену толщиной H, содержащую внутри слой утеплителя (рис. 1). Воздух внутри помещения имеет известную температуру tв, наружная температура воздуха – tн. Прилегающие поверхности стены, соответственно, имеют температуры Tв и Tн, которые можно рассчитать, зная внутренние и наружные коэффициенты теплоотдачи. В качестве утеплителя выбран материал «пеноплэкс».

Рис. 1. Структура ограждающей конструкции

Требуется рассчитать распределение температуры внутри конструкции при следующих допущениях.

Оба материала предполагаются однородными. Толщина стены H намного меньше ее высоты и ширины, поэтому достаточно рассмотреть одномерный перенос тепла перпендикулярно поверхности стены. Процесс теплопередачи считается установившимся, то есть, рассматривается стационарная задача. Льдистость и воздухопроницаемость материала, а также источники тепла внутри стройматериалов пренебрежимо малы.

3.2. Математическая модель

Математическая модель теплопереноса в вышеуказанных условиях представляет собой краевую задачу со стационарными уравнениями теплопроводности:

где λб и λп – коэффициенты теплопроводности бетона и утеплителя (пеноплэкса), соответственно. Учитывая, что эти коэффициенты являются константами, имеем кусочно-линейное распределение температуры по оси х:

Тогда тепловые потоки в рассматриваемых областях являются константами:

На внутренней поверхности стены согласно (7) имеем граничное условие Дирихле:

Аналогично для наружной поверхности стены получим граничное условие

На двух внутренних границах бетона и утеплителя предполагается непрерывность функций температуры T(x) и теплового потока Q(x).

Требуется найти T(x) при , а именно – определить значения трех пар коэффициентов: a1, b1; a2, b2; a3, b3.

3.3. Аналитическое решение краевой задачи

Учитывая вид функции температуры (5), из граничных условий на внутренней и наружной поверхностях стены (6), (7), соответственно, имеем

Из непрерывности T(x) на внутренних границах следует               

Условие непрерывности потоков Q(x) на внутренних границах позволяет получить два недостающих уравнения:                     

Уравнение (8) фактически представляет собой тождество, определяющее значение коэффициента b1. Из уравнений (12) и (13) следует равенство a1 = a3, позволяющее коэффициент a1 также исключить из системы уравнений. В результате имеем невырожденную систему 4 линейных алгебраических уравнений с 4 неизвестными – a2, b2; a3, b3. Решая эту систему относительно параметров задачи (автор использовал метод Гаусса), окончательно получаем расчетные формулы для определения коэффициентов, представленные в таблице 1. 

Таблица 1

 Расчетные формулы коэффициентов функции температуры

 

Граничные значения температур Tв и Tн рассчитываются по формулам (6) и (7), принимая величины коэффициентов αв и αн по таблицам [СП 50.13330.2012 «Тепловая защита зданий»]. Значения коэффициентов теплопроводности бетона λб взято из приложения Т [СП 50.13330.2012 «Тепловая защита зданий»], а пеноплэкса λп взято на основании данных производителя, размещенных на официальном сайте производителя [5].

Расчетное распределение температуры T(x) по толщине стены показано на рис. 2.

 

Таблица 2

Значения параметров расчетных формул

Таблица 3

 

Значения коэффициентов функции температуры

Рис. 2. Распределение температуры по толщине стены
 

Тепловой поток при этом составляет Q(x) = 12,298 Вт/м2.

Вычисления и построение графика выполнены с применением табличного процессора MS Excel (рис. 3).

Рис. 3. Визуализация решения в MS Excel

 

3.4. Численное решение краевой задачи

Помимо аналитического решения проведено прямое численное моделирование теплопереноса, описываемого в каждом из 3 слоев стены уравнением (2) с соответствующими материалу коэффициентами теплопереноса l, с граничными условиями (6), (7). Моделирование проведено с использованием пакета COMSOL Multiphysics 5.3 (рис. 4).

 

Рис. 4. Моделирование в пакете COMSOL Multiphysics

Физические параметры бетона и пеноплэкса взяты из источников, описанных выше, и приведены на рис. 5.

Рис. 5. Параметры расчета в COMSOL Multiphysics

Как и следовало ожидать, в результате моделирования независимо получено аналогичное распределение температуры, как и в аналитическом решении (рис. 6), тем самым подтверждает его корректность.

 

Рис. 6. Распределение температуры в результате моделирования в COMSOL Multiphysics

3.5. Сравнение решения краевой задачи с теплотехническим расчетом согласно СП 50.13330.2012 «Тепловая защита зданий»

 

Для верификации полученных решений поставленная задача также решена методом, основанном на понятии термического сопротивления ограждения, изложенным в п. 1.1. Для автоматизации расчетов и визуализации решения использован табличный процессор MS Excel (рис. 7).

Полученное распределение температуры полностью повторяет график, представленный рисунком 2. Максимальная разность решений составляет 1,07×10–14, то есть имеет порядок вычислительной погрешности ЭВМ, что еще раз подтверждает корректность полученного решения.

Рис. 7. Расчет распределения температуры в ограждении через термическое сопротивление в
 пакете MS Excel

 

4 Сравнение теоретического и экспериментального распределения температур

Для проверки полученных в математической модели данных был проведен эксперимент в лаборатории ФГБОУ ВО Кубанского Государственного Технологического Университета.

Для проведения эксперимента был изготовлен образец стены размером 1000×1000×380 мм. Данные ограничения по геометрическим размерам связаны с материально-технической базой кафедры «Архитектуры гражданских и промышленных зданий и сооружений» университета. Испытания проводились на климатической камере «тепло-холод-влага» М-40/80-1000-КТВХ. Образец представляет собой 3х слойную стену, состоящую из 2-х слоев железобетона толщиной
140 мм и утеплителя «Пеноплэкс» толщиной 100 мм расположенного между ними.

Температурно-влажностный режим со стороны теплой зоны поддерживался климатической системой установленной в помещении лаборатории, любое воздействие воздушного потока на образец было исключено. Поддерживаемая температура в помещении составляла +22 °С. Температурно-влажностный режим со стороны холодной зоны поддерживался климатической камерой «тепло-холод-влага» М-40/80-1000-КТВХ выставленной на температуру -19 °С, что соответствует температуре наиболее холодной пятидневки в г. Краснодаре согласно
СНКК 23-302-2000 «Энергетическая эффективность жилых и общественных зданий нормативы по теплозащите зданий».

В толще стены располагались 5 температурных датчиков Dallas Instruments DS18B20, которые производят измерения температуры с точностью ± 0,5 °С (в пределах от -10 до +85 °С). Два датчика находились на расстоянии 35 мм от наружных граней стены, два датчика на границе бетона и утеплителя и один датчик в центре утеплителя.

 

Рис. 8. Процесс изготовления макета наружной стены экспериментального здания

Со стороны теплой зоны распределение температуры и теплового потока по поверхности стены контролировали 5 датчиков температуры и 5 датчиков теплового потока, входящих в измерительный комплекс ИТП-МГ4.03/Х(У) «Поток».

 

Испытания проводились в соответствии с ГОСТ 7076-99 «Материалы и изделия строительные. Метод определения теплопроводности и термического сопротивления при стационарном тепловом режиме». Все измерения проводились после установления стационарного теплого режима конструкции.

Результаты проведения испытаний показали следующие выводы: Температура на поверхности конструкции со стороны теплой зоны составляла +21,2 °С, что на 3 % отличается от результата, полученного при математическом моделировании. Температура на первом датчике внутри конструкции стены составляла +19,81 °С, на втором датчике составляла +18,5 °С, на третьем +0,45 °С, на четвертом -17,94 °С и на пятом
-18,81 °С, что в среднем на 3 % отличается от результата, полученного при математическом моделировании.

После проведения испытаний мы можем сделать вывод о том, что математическая модель, составленная в пункте 2 статьи верна и подтверждается результатами испытаний. Значения температур внутри стены, измеренные с помощью приборов, имеют отклонения от значений температур, вычисленных по формулам (7) и (8).

Основными причинами таких отклонения являются:

  1. Повышенная воздухопроницаемость конструкции, в результате чего могут происходить изменения температурного поля, не учитываемые формулами (7) и (8).
  2. Иные значения коэффициентов теплопроводности материалов конструкции по сравнению с принятыми в расчет, что может происходить вследствие изменения влажности материалов и объемной массы от принятых.

Чем точнее совпадает действительное распределение температур в стене с вычисленными по расчету, тем ближе к стационарным условиям теплопередача через конструкции.

Рис. 9. Процесс проведения испытаний макета наружной стены экспериментального здания

Рис. 10. Распределение температуры в конструкции, полученное в ходе испытаний

Список литературы

1. Толстова Ю.И., Шумилов Р.Н. Основы строительной теплофизики: учеб. пособие, Урал. федер. Екатеринбург : Издательство Уральского университета, 2014. 106 с.

2. Соколов Е.Я. Теплофикация и тепловые сети: учебник для вузов. 9-е изд., стереотипное. М.: Изд-во МЭИ, 2009. 472 с.

3. Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий. М.: АВОК-ПРЕСС, 2015. 194 с.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учебник для вузов. М. : Изд-во МГУ, Наука, 2004. 735 с.

5. Официальные сайт производителя ПЕНОПЛЭКС [Электронный ресурс]. URL: https://www.penoplex.ru/katalog/dlya-doma-i-kvartiry/penopleks/ (дата обращения: 29.09.2019)

6. Иванчеко В.Т., Гражданкин А.А. Проектирование энергоэффективных зданий на примере здания «Городская вилла Edward» // Проектирование и строительство автономных, энергоэффективных зданий Сборник статей Международной научно-практической конференции. ФГБОУ ВО «Кубанский государственный технологический университет». Изд-во Аэтерна С. 90-96.

7. Данилов Н.Д., Федотов П.А., Докторов И.А. Определение приведенного термического сопротивления фрагмента неоднородной ограждающей конструкции в климатической камере // Жилищное строительство. 2018. №8. С. 35-39.

8. Андрейцева К.С. Особенности расчета температурных полей при проектировании ограждающих конструкций // Жилищное строительство. 2018. №6. С. 19-23.

9. Желдаков Д.Ю., Фролов А.А. Сегментный метод расчета распределения температуры по сечению ограждающей конструкции здания // Жилищное строительство. 2017. № 6. С. 36-39.

10. Неклюдов А.Ю. Расчет характеристик энергопотребления здания при определении трансмиссионных тепловых потерь // Жилищное строительство. 2016. № 7. С. 11-14.

11. Гагарин В.Г., Дмитриев К.А. Учет теплотехнических не однородностей при оценке теплозащиты ограждающих конструкций в России и европейских странах // Строи тельные материалы. 2013. № 6. С. 14-16.

12. Умнякова Н.П., Бутовский И.Н., Чеботарев А.Г. Развитие методов нормирования теплозащиты энергоэффективных зданий // Жилищное строительство. 2014. № 7. С. 19-23.

13. Умнякова Н.П. Теплопередача через ограждающие конструкции с учетом коэффициентов излучения внутренних поверхностей помещения // Жилищное строительство. 2014. № 6. С. 14-17

14. Киселев И.Я. Влияние зависимости теплопроводности строительных материалов от температуры на сопротивление теплопередаче ограждающих конструкций зданий // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2013. № 31-2 (50). С. 42-45.

15. Самарин О.Д. Использование методики СП 50.13330.2012 для оценки зависимости теплотехнических показателей оболочки здания от его этажности // Жилищное строительство. 2016. № 4. С. 30-32.

16. Hou Hua Wang, Tao Zhang, Qiu Lian Xiao. Experimental Study of Energy Saving Effect of Building Envelope in Winter // Applied Mechanics and Materials (Vols. 121-126). 2011. P. 2741-2747.

17. Friess W.A., Rakhshan K., Hendawi T.A., Tajerzadeh S. Wall insulation measures for residential villas in Dubai: A case study in energy efficiency // Energy and Buildings. 2012. Vol. 44. Pp. 26-32.


Войти или Создать
* Забыли пароль?