Белгород, Белгородская область, Россия
ГРНТИ 61.01 Общие вопросы химической технологии и химической промышленности
ББК 35 Химическая технология. Химические производства
Рассмотрены вопросы нестационарной диффузии в слоистых структурах. При разработке конструкций аппаратов для реализации массообменных процессов необходимо учитывать, свойства вещества и характер протекаемых процессов. Сроки проектирования значительно сокращаются, а КПД аппаратов получается выше, если удается построить хорошую физическую модель и применить математический анализ с учетом кинетики процессов. Трудности теоретического анализа и расчета массопереноса определяются сложностью механизма переноса к границе раздела фаз и от нее. Поэтому применяют упрощенные модели процессов массопереноса в которых механизм массоотдачи характеризуется сочетанием молекулярного и конвективного массопереноса. Многие важные практические задачи предполагают расчет нестационарной диффузии (второго закона Фика) для определенного объема вещества (веществ). Для качественной оценки процессов, в случае симметрии, объемные задачи можно рассматривать как одномерные задачи, т.е. зависящие от одной координаты. Предложено общее решение уравнения нестационарной диффузии для слоистых сред. При этом рассматривался случай нестационарных граничных условий третьего рода на внешней поверхности и граничных условий сопряжения четвертого рода для соприкасающихся слоев. Решение получено методом разделения переменных Фурье по собственным функциям задачи с применением интеграла Дюамеля. Предложенная форма решения имеет явный вид и благодаря рекуррентной форме записи основных соотношений может быть полезной при численных расчетах.
нестационарная диффузия, закон Фика, слоистые структуры, нестационарные граничные условия третьего рода, граничные условия сопряжения четвертого рода.
Введение. Известно, что массообменные (диффузионные) процессы характеризуются переносом одного или нескольких веществ исходной смеси из одной фазы в другую через поверхность раздела фаз. В группу процессов, которые рассматриваются, как массообменные входит молекулярная диффузия распределяемого вещества. Молекулярная диффузия определяет процессы абсорбции, перегонки (ректификации), экстракции из растворов, растворение и экстракцию из пористых тел, кристаллизацию, адсорбцию и сушку. Химические (реакционные) процессы протекают со скоростью, определяемой законами химической кинетики. В тоже время химическим реакциям сопутствует перенос массы и энергии. Поэтому скорость реакций подчиняется законам макрокинетики и определяется наиболее медленным из последовательно протекающих химического взаимодействия и диффузии [1-4].
При разработке конструкций аппаратов для реализации указанных процессов необходимо учитывать, свойства вещества и характер протекаемых процессов. Сроки проектирования значительно сокращаются, а КПД аппаратов получается значительно выше, если удается построить хорошую физическую модель и применить математический анализ с учетом кинетики процессов.
Трудности теоретического анализа и расчета массопереноса определяются сложностью механизма переноса к границе раздела фаз и от нее. Поэтому применяют упрощенные модели процессов массопереноса в которых механизм массоотдачи характеризуется сочетанием молекулярного и конвективного массопереноса. Среди моделей массопереноса следует выделить пленочную модель, модель диффузионного пограничного слоя, модель обновления поверхности фазового контакта и модифицированные модели обновленной поверхности. В любом случае основу всех моделей составляет основное уравнение массообмена, связывающее изменение концентрации вещества во времени с координатой точки в объеме вещества, а также условиями массобмена (диффузии) на свободных поверхностях и на границе соприкасающихся поверхностей с различной концентрацией вещества. Приходится идеализировать и упрощать рассматриваемую задачу, делая определенные допущения относительно начального распределения концентрации вещества и коэффициентов диффузии.
Аппараты реализующие массообменные процессы представляют собой объемные тела различной конфигурации, для которых требуется правильно подобрать геометрические размеры и технические параметры с учетом скорости протекания процессов и производительности оборудования.
Методология. Многие важные практические задачи предполагают расчет нестационарной диффузии (второго закона Фика) [1] для определенного объема вещества (веществ). Заметим, что для качественной оценки процессов, в случае симметрии, многие объемные задачи можно рассматривать как одномерные задачи, т.е. зависящие от одной координаты. В более ранних работах автора были рассмотрены аналитические решения однородной задачи нестационарной теплопроводности в слоистых структурах [5-13]. С учетом методического подхода, изложенного в этих работах, методом разделения переменных Фурье можно получить решение уравнения нестационарной диффузии для слоистых сред.
Основная часть. Ниже приведено общее решение уравнения нестационарной диффузии для слоистых сред. При этом рассматривался случай нестационарных граничных условий третьего рода на внешней поверхности и граничных условий сопряжения четвертого рода для соприкасающихся слоев.
Одномерная задача нестационарной диффузии для слоистых сред в математической постановке должна определяться следующей системой дифференциальных уравнений в частных производных:
,
xi-1 ≤ r ≤ xi , i = 1, 2,…n, (1)
где Сi(r,t), – концентрация вещества в i-м слое;
Di, – коэффициенты диффузии в i-м слое; x0, – координаты нижней геометрической (свободной) поверхности объекта; xn – верхней геометрической (свободной) поверхности объекта.
На внешних (свободных) поверхностях
r = xo, r = xn граничные условия определим как нестационарные граничные условия третьего рода:
,
(2)
Граничные условия сопряжения четвертого рода концентрационных полей и концентрационных потоков для соприкасающихся слоевв общем виде определяются следующим образом:
,
i = 12,…n-1, (3)
где Ki – константа растворимости i- го слоя,
Распределение концентрационных полей в начальный момент времени в каждом слое имеет вид:
, i = 1, 2,…n, (4)
где – функция начального распределения концентрационных полей.
Искомое решение задачи (1) представим в виде суммы
, (5)
где – функции, которые являются решением задачи с нулевыми начальными условиями
и удовлетворяют уравнениям (1)-(3).
Функции можно определить интегралом Дюамеля [14, 15]:
, при t>0 (6)
где – решение задачи при условии, что τявляется параметром.
После преобразования функции окончательно приобретают вид:
, (7)
где – собственные функции задачи;
, i = 1,2,…n, (8)
, (9)
, (10)
i = 2,3,…n.
,i = 2,3,…n. (11)
Собственные функции задачи и
определяются как корни трансцендентного уравнения:
m = 0,1,2,… (12)
Коэффициенты при собственных функциях задачи определяются условиями ортогональности функций, которые выполняются следующим образом:
, (13)
, (14)
,
, i = 2,3,…n (15)
,i = 1, 2,…n. (16)
(17)
Конкретный вид функций и
, а также весовая функция
, в различных системах координат определяются выражениями:
а). Декартова (прямоугольная) система координат:
(18)
б). Сферическая система координат:
(19)
в). Цилиндрическая система координат:
(20)
Следует заметить, что при решении задач для шара или цилиндра полученное решение требует ограниченности в центре шара или на оси цилиндра. Тогда для граничных условий на свободных поверхностях необходимо вместо (2) использовать другую форму записи:
,
(21)
Кроме того, в общем решении вместо (9) и (14) также следует полагать:
, i=1,2...n (22)
Остальные расчеты проводятся в соответствии с основным решением.
Выводы. В заключение отметим, что представленные выше выражения определяют общее решение уравнения нестационарной диффузии для слоистых сред при нестационарных граничных условиях третьего рода на внешней поверхности и граничных условиях сопряжения четвертого рода для соприкасающихся слоев.
На практике могут встречаться различные случаи физической и математической постановки задачи нестационарной диффузии для слоистых сред. Однако для одномерного случая различные частные решения могут быть сразу же определены с учетом условий (2), а также выражений (4), (5), (7) и (21) – (22).
Предложенная форма решения имеет явный вид и благодаря рекуррентной форме записи основных соотношений может быть полезной при численных расчетах и анализе кинетики нестационарнойдиффузии в многослойных средах.
1. Рудобашта С.П., Карташов Э.М. Диффузия в химико-технологических процессах. М.: КолосС, 2010. 478 с.
2. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. М.: ООО ТИД «Альянс», 2004. 753 с.
3. Романков П.Г., Фролов В.Ф., Флисюк О.М. Методы расчета процессов аппаратов химической технологии. СПб.: Химиздат, 2009. 544 с.
4. Романков П.Г., Фролов В.Ф. Массообменные прцессы химической технологии. Системы с дисперсной твердой фазой. Л.: Химия, 1990. 388 с.
5. Вендин С.В. К расчету нестационарной теплопроводности в многослойных объектах при граничных условиях третьего рода // ИФЖ, 1993. Т.65. №2. C. 249-251.
6. Vendin S.V. Calculation of nonstationary heat conduction in multilayer objects with boundary conditions of the third kind // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 1993. Т. 65. № 2. С. 823.
7. Вендин С.В., Щербинин И.А. К решению задач нестационарной теплопроводности в слоистых средах // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2016. № 3. С. 96-99.
8. Vendin S. On the Solution of Problems of Transient Heat Conduction in Layered Media // International Journal of Environmental and Science Education. 2016. V. 11. № 18. рр. 12253-12258.
9. Вендин С.В., Мамонтов А.Ю. Расчет мощности дополнительных источников теплоты для подогрева биомассы в биогазовом реакторе // Вестник Белгородского государственного технологического университета им. В.Г. Шухова. 2017. № 7. С. 97-99.
10. Вендин С.В. К решению некоторых краевых задач нестационарной теплопроводности в слоистых средах методом разделения переменных // В сборнике: Актуальные проблемы сушки и термовлажностной обработки материалов в различных отраслях промышленности и агропромышленном комплексе сборник научных статей Первых Международных Лыковских научных чтений, посвящённых 105-летию академика А.В. Лыкова. Москва, 2015. С. 78-80.
11. Вендин С.В. Решение задачи нестационарного нагрева слоистых материалов // В сборнике:Проблемы и перспективы инновационного развития агротехнологий. Материалы XX Международной научно-производственной конференции. Майский: Белгородский ГАУ, 2016. С. 15-16.
12. Вендин С.В. Теория и математические методы анализа тепловых процессов при СВЧ обработке семян. М.: ОАО «Центральный коллектор библиотек «БИБКОМ», ООО «ТРАНСЛОГ», 2016. 143 с.
13. Vendin S.V. On Solving the Problems of Nonstationary Diffusion in Layered Environments // International Journal of Applied Engineering Research. ISSN 0973-4562. Volume 12. Number 22 (2017). Pp. 12272-12274.
14. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел: Учеб. Пособие. Изд. 3-е, перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2001. 550 с. ISBN 5-06-004091-7.
15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. 835 с.
