Новосибирская область, Россия
Новосибирская область, Россия
ГРНТИ 67.11 Строительные конструкции
ББК 385 Строительные конструкции
В работе предложена аналитическая аппроксимация опытных диаграмм растяжения-сжатия древесины вдоль волокон в виде многочленов второй и третьей степени. Коэффи-циенты аппроксимирующих функций определяются двумя способами: с помощью метода наименьших квадратов, используя опытные диаграммы деформирования; с помощью нало-жения определённых требований на диаграммы, используя основные механические характе-ристики древесины (максимальные напряжения и деформации, модули упругости). Даны численные значения коэффициентов аппроксимации для 15 различных пород древесины. При-ведённые в работе примеры расчёта неоднородно-слоистых деревянных конструкций позво-лили показать особенности работы такого сильно физически нелинейного и разносопротив-ляющегося материала как древесина. Варьирование породы древесины и формы слоёв при-водит к значительному изменению несущей способности и деформативности конструкции. Показана возможность изменения характера начала разрушения, а также возникновения скрытых форм разрушения при перестановке пород слоёв. Разработанный в статье метод расчёта гибридных стержневых деревянных конструкций открывает большие возможности для решения задач оптимизации при проектировании, и позволяет рациональным способом использовать различные породы древесины.
диаграммы деформирования, слоистые конструкции, деревянные конструкции, физическая нелинейность, разносопротивляемость, сжатие, растяжение.
Введение. Древесина широко используется в строительстве [1–3]. Этому способствуют такие её качества как [1]: низкий удельный вес – при средней плотности 550 кг/м3 она в 14 раз легче стали и в 4,5 раза легче бетона; высокая удельная прочность – 25500 м2/с2 для древесины,
29500 м2/с2 для строительной стали и 5800 м2/с2 для бетона класса В25. Она также обладает малой теплопроводностью, высокой химической стойкостью и высокой технологичность. И что немаловажно - является самовозобновляемым и экологически чистым материалом.
Основные недостатки древесины – пороки, неоднородность и анизотропность физико-механических свойств, пожароопасность, коробление, усушка и др. [1, 3] могут быть в значительной степени устранены путём различных технологических и конструктивных приёмов, используемых при производстве современных деревянных конструкций. Кроме этого, современные технологии позволяют создавать клееные деревянные конструкции различных форм поперечных сечений и пролётов, что значительно расширяет их область применения.
Примерами эффективного использования древесины в строительстве могут служить: радиобашня в Польше высотой 118 м (1935 г.), деревобетонный мост в Австрии [4] пролётом 85 м (1993 г.), жилое здание в Канаде [5] высотой 53 м (2017 г.) и др.
Следует отметить, что существующие нормативные методы расчёта деревянных конструкций [6–7] обладают рядом недостатков:
- не учитывают реальные диаграммы деформирования древесины;
- не позволяют проектировать неоднородные (состоящие из разных пород) конструкции, так как основаны на экспериментальных данных, полученных для однородных конструкций;
- накладывают ограничения на возможные формы поперечных сечений (прямоугольное, круглое, двутавровое и т.п.).
Стандартные методы расчёта физически нелинейных стержневых конструкций [8–13] рассматривают в основном однородные конструкции и не уделяют должного внимания особенностям работы древесины.
Следовательно, необходимо создание методики расчёта деревянных конструкций, учитывающей реальные диаграммы деформирования древесины и позволяющей рассчитывать и проектировать неоднородные конструкции.
1. Диаграммы деформирования древесины. Здесь и далее будем говорить о диаграммах, полученных при кратковременных испытаниях малых чистых образцов древесины на растяжение-сжатие вдоль волокон.
Для использования диаграмм деформирования в расчётах необходимо получить их аналитическую форму. Функция, описывающая диаграммы, должна удовлетворять двум основным критериям: достаточно точно описывать опытные данные и иметь, по возможности, простой вид. При этом оба условия являются взаимоисключающими – желание получить, как можно более точное совпадение с экспериментальными данными приводит к усложнению связи между напряжениями и деформациями.
Отметим, что не следует стремиться к идеальному совпадению экспериментальной диаграммы и аппроксимирующей её функции. Так как сами опытные диаграммы деформирования получаются путём осреднения целого набора диаграмм. При этом средние коэффициенты вариации механических свойств древесины (предел прочности, модуль упругости и др.) лежат в пределах 13–20 % [14].
Для разработки теории расчёта физически нелинейных гибридных стержневых систем будем использовать два вида функций:
- квадратная аппроксимация отдельно для растяжения и сжатия [15]
|
|
(1) |
верхние знаки берутся при , нижние – при .
- кубическая аппроксимация на всём диапазоне деформирования [16]
(2)
где – предельные значения продольных деформаций при растяжении и сжатии; – коэффициенты аппроксимации диаграмм деформирования соответственно для квадратной и кубической функций.
Принятие в качестве аппроксимирующей функции степенных многочленов с одной стороны позволяет достаточно точно описать экспериментальные данные, с другой стороны данные функции имеют простой вид и являются одними из наиболее изученных в математике.
Связь между напряжениями и деформациями в форме (1) и (2) позволяет получать в пределе модели одномодульного и разномодульного линейно-упругого материала. Если в (1) принять , то приходим к модели разномодульного линейно-упругого материала. Далее, принимая , получим уравнение закона Гука. Тоже получим и в (2) при .
Для подтверждения возможности аппроксимации диаграмм деформирования функциями (1,2) используем экспериментальные данные для трёх пород древесины: сосны [17], ясеня [18] и ели [19]. И, на основе метода наименьших квадратов [20], вычислим коэффициенты аппроксимации . Для этого области и на опытных графиках растяжения-сжатия разбиваем на девять равных отрезков. На конце каждого отрезка определяем пары значений . Имея набор экспериментальных значений , находим коэффициенты .
Оценку степени точности аппроксимации проводим с помощью коэффициента детерминации [20]:
(3)
где – значения напряжений, взятые из опытных графиков; – значения напряжений, полученные непосредственно по формулам (1) или (2); n – количество точек взятых на экспериментальных диаграммах.
Результаты аппроксимации даны на рис. 1–3, значения коэффициентов аппроксимации, а также коэффициентов детерминации приведены в табл. 1–2. На рис. 1–3 экспериментальные данные обозначены следующими значками: треугольниками для сосны, крестиками для ясеня и кружками для ели. Соответствующие им аппроксимирующие функции проведены сплошными линиями. В табл.1 коэффициенты детерминации отдельно приведены для диаграмм растяжения – R2+ и отдельно для диаграмм сжатия – R2-. Величины , – максимальные нормальные напряжения при растяжении (+) и сжатии (-).
Анализ экспериментальных диаграмм деформирования показывает, что при растяжении древесина деформируется линейно практически до самого разрушения, а при сжатии уже в области средних напряжений начинает проявляться физическая нелинейность, которая возрастает по мере увеличения нагрузки. Для одной и той же породы древесины пределы прочности на растяжение и сжатие различаются до 2,6 раз, максимальные деформации – до 1,6 раз.
Из рис. 1–3 видно, что функции (1) и (2) достаточно хорошо аппроксимируют экспериментальные диаграммы деформирования древесины. При этом квадратная аппроксимация немного точнее кубической. Коэффициент детерминации для квадратной аппроксимации изменяется от 0,9975 до 0,9999, для кубической – от 0,9951 до 0,9995, см. табл. 1–2.
Рис. 1. Квадратная аппроксимация диаграмм сжатия древесины.
1 – сосна, 2 – ясень, 3 – ель. Способ 1
Рис. 2. Квадратная аппроксимация диаграмм растяжения древесины.
1 – сосна, 2 – ясень, 3 – ель. Способ 1
Рис. 3. Кубическая аппроксимация диаграмм деформирования древесины.
1 – сосна, 2 – ясень, 3 – ель. Способ 1
Таблица 1
Характеристики диаграмм деформирования для квадратной аппроксимации. Способ 1
|
№ |
Характери- стики
Порода |
|
|
|
|
|
|
|
|
R2+ |
R2- |
|
1 |
Сосна |
15,97 |
22,82 |
-0,303 |
2,65 |
7,4 |
-4,6 |
101.6 |
-48.9 |
0.9967 |
0.9975 |
|
2 |
Ясень |
15,21 |
12,94 |
-0,233 |
0,773 |
11,0 |
-7,2 |
138.7 |
-53.2 |
0.9999 |
0.9998 |
|
3 |
Ель |
14,01 |
16,74 |
0 |
1,789 |
7,0 |
-5,0 |
98,1 |
-39,0 |
0.9999 |
0.9980 |
Таблица 2
Характеристики диаграмм деформирования для кубической аппроксимации. Способ 1
|
№ |
Характери- стики
Порода |
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
1 |
Сосна |
15,55 |
0.373 |
-0,094 |
7,4 |
-4,6 |
97.6 |
-54.4 |
0.9951 |
|
2 |
Ясень |
12.60 |
0.451 |
-0,042 |
11,0 |
-7,2 |
137.4 |
-51.8 |
0.9995 |
|
3 |
Ель |
13.24 |
0.610 |
-0.078 |
7,0 |
-5,0 |
95.9 |
-41.2 |
0.9988 |
При определении коэффициентов диаграмм деформирования использовались экспериментальные графики. Однако число таких графиков сильно ограничено. В основном в литературе приводятся данные по (модуль упругости при изгибе) и [21, 22], реже можно найти модули упругости при растяжении и сжатии [22]. Значения предельных деформаций практически отсутствуют.
Таблица 3
Методы определения коэффициенты для квадратной аппроксимации
|
№ |
Определяющие уравнения |
Коэффициенты диаграмм деформирования |
R2+ |
R2- |
|
1 |
|
|
0.6085 |
0.9880 |
|
0.6355 |
0.9671 |
|||
|
0.4263 |
0.9869 |
|||
|
2 |
|
|
0.9941 |
0.9974 |
|
0.9999 |
0.9997 |
|||
|
1.0000 |
0.9979 |
|||
|
3 |
|
|
0.8487 |
0.9934 |
|
0.8119 |
0.9787 |
|||
|
0.7055 |
0.9940 |
|||
|
4 |
|
|
0.9190 |
0.9975 |
|
0.9423 |
0.9996 |
|||
|
0.8566 |
0.9980 |
Одно из важных свойств, которому должны удовлетворять диаграммы деформирования, заключаются в том, чтобы их коэффициенты определялись через известные величины и . С одной стороны, это позволит по известным данным получить большое количество диаграмм деформирования для различных пород. С другой стороны, что более важно, даст возможность учитывать влияние различных факторов (температуры, влажности, времени, скорости нагружения, изменчивости свойств и т.д.) на диаграммы деформирования через накопленную информацию [1, 3, 6, 14, 21, 22] о влиянии этих факторов на и .
В связи с этим были проанализированы различные варианты определения коэффициентов через , – табл. 3-4. В табл. 3–4 коэффициенты детерминации приведены для трёх пород древесины. Первой строке соответствует сосна, второй – ясень, и третьей – ель. Значения взяты из табл.1 -
Таблица 4
Методы определения коэффициенты для кубической аппроксимации
|
№ |
Определяющие уравнения |
Коэффициенты диаграмм деформирования |
R2 |
|
1 |
|
|
0.9934 |
|
0.9991 |
|||
|
0.9970 |
|||
|
2 |
|
|
0.9897 |
|
0.9749 |
|||
|
0.9713 |
|||
|
3 |
|
находим из решения системы:
Где . |
0.9932 |
|
0.9863 |
|||
|
0.9978 |
|||
|
4 |
|
|
0.9869 |
|
0.9993 |
|||
|
0.9981 |
Будем считать аппроксимацию хорошо совпадающей с экспериментальными данными при . Исходя из этого, для квадратной аппроксимации наилучшим является вариант в строке 2 табл. 3. Для кубической аппроксимации наилучший вариант расположен в строке 1 табл.4. Покажем графики деформирования для каждого их этих вариантов – рис. 4–6.
Рис. 4. Квадратная аппроксимация диаграмм сжатия древесины.
1 – сосна, 2 – ясень, 3 – ель. Способ 2
Рис. 5. Квадратная аппроксимация диаграмм растяжения древесины.
1 – сосна, 2 – ясень, 3 – ель. Способ 2
Рис. 6. Кубическая аппроксимация диаграмм деформирования древесины.
1 – сосна, 2 – ясень, 3 – ель. Способ 2
Данные рисунки свидетельствуют об успешной возможности аппроксимации диаграмм деформирования с использованием основных механических характеристик древесины - и .
Оба выбранных варианта аппроксимации требуют знания предельных продольных деформаций . Однако, их сложно найти в литературе. Поэтому можно предложить следующий способ определения : находим с использованием закона Гука, так как при растяжении диаграмма деформирования практически линейна вплоть до разрушения; определяем из формул строки 4 табл. 3, так как данный в ней метод определения даёт хорошие совпадения с опытом. В итоге, при отсутствии опытных данных о , можно приближённо принять:
|
|
(4) |
Вычислим по формулам (4) и сравним с предельными деформациями, взятыми из диаграмм деформирования сосны, ясеня и ели. Максимальная разница для сосны составляет 17,0 %, для ясеня – 16,6 % и для ели – 6,2 %.
Использую формулы (4) и данные о из [22], вычислим коэффициенты аппроксимации для различных пород древесины – табл. 5. Коэффициенты определяем по формулам строки 2 табл. 3, а – по формулам строки 1 табл. 4.
Таблица 5.
Характеристики диаграмм деформирования. Способ 2
|
№ |
Характери- стики
Порода |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Берёза даурская |
18,4 |
16,1 |
0 |
1,325 |
16,1 |
0,922 |
-0,066 |
10,65 |
-6,07 |
196 |
-48,9 |
|
2 |
Граб кавказский |
14,8 |
12,4 |
0 |
0,523 |
12,4 |
0,387 |
-0,011 |
8,18 |
-11,85 |
121 |
-73,5 |
|
3 |
Дуб красный |
14,2 |
14,2 |
0 |
0,818 |
14,2 |
0,395 |
-0,049 |
8,10 |
-8,68 |
115 |
-61,6 |
|
4 |
Ива ломкая |
11,1 |
11,5 |
0 |
0,808 |
11,1 |
0,408 |
-0,048 |
8,42 |
-7,11 |
93,5 |
-40,9 |
|
5 |
Лиственница сибирская |
14,7 |
14,2 |
0 |
0,804 |
14,2 |
0,418 |
-0,044 |
8,16 |
-8,83 |
120 |
-62,7 |
|
6 |
Ольха черная |
12,1 |
13,0 |
0 |
0,969 |
12,1 |
0,467 |
-0,055 |
8,51 |
-6,71 |
103 |
-43,6 |
|
7 |
Осина |
15,6 |
12,8 |
0 |
0,916 |
12,8 |
0,652 |
-0,038 |
8,53 |
-6,98 |
133 |
-44,7 |
|
8 |
Пихта кавказская |
12,7 |
12,7 |
0 |
0,894 |
12,7 |
0,497 |
-0,056 |
8,90 |
-7,10 |
113 |
-45,1 |
|
9 |
Тополь сереющий |
9,05 |
10,1 |
0 |
0,630 |
9,05 |
0,293 |
-0,026 |
11,38 |
-8,02 |
103 |
-40,5 |
|
10 |
Тополь черный |
12,4 |
13,9 |
0 |
0,992 |
12,4 |
0,436 |
-0,049 |
8,95 |
-7,01 |
111 |
-48,7 |
|
11 |
Ясень маньчжурский |
15,8 |
12,6 |
0 |
0,781 |
12,6 |
0,579 |
-0,025 |
9,24 |
-8,06 |
146 |
-50,8 |
|
12 |
Ясень обыкновенный |
14,2 |
15,2 |
0 |
1,144 |
14,2 |
0,593 |
-0,060 |
9,86 |
-6,64 |
140 |
-50,5 |
Анализируя данные табл.5 можно выявить следующие особенности диаграмм деформирования древесины:
- модули упругости древесины при растяжении и сжатии отличаются максимум на 20,2 %, причём для половины пород эта разница лежит в пределах 7 %.
- Предельные деформации растяжения практически всегда больше предельных деформаций сжатия. Для берёзы даурской больше в 1,75 раза, а для граба кавказского больше в 1,45 раза.
- Предел прочности на растяжение больше предела прочности на сжатие в среднем в 2,5 раза. Для берёзы даурской больше в 4,0 раза, для граба кавказского больше в 1,6 раза.
Из табл.5 видно, что модули упругости при растяжении и сжатии в основном не сильно отличаются друг от друга. В работе [6] показано, что можно с небольшой погрешностью принять . Тогда, используя данные из [21, 22] с учётом (4) можно получить коэффициенты диаграмм деформирования для сотен различных пород древесины по выше описанному алгоритму.
2. Особенности напряжённо-деформированного состояния (НДС) неоднородных деревянных конструкций. В [23, 24] приведён метод определения НДС деревянных конструкций, учитывающий реальные диаграммы деформирования древесины. В [23] используется аппроксимация диаграмм деформирования в виде (1), в [24] – в виде (2). Здесь, на примере частных расчётов, покажем возможности данного метода, а также особенности деформирования и разрушения неоднородных деревянных конструкций.
Для расчёта возьмём однопролётную балку рис. 7а. На рисунке все размеры даны в миллиметрах.
Рис. 7. К расчёту деревянной балки: а) расчётная схема балки; б) поперечное сечение балки
Поперечное сечение балки состоит из трёх слоёв – рис. 7б. Каждый слой может быть выполнен из различных пород древесины. Образующие второго слоя представляют собой квадратные параболы, описываемые выражениями мм. Тогда ширина второго слоя задаётся соотношением мм.
Условие прочности запишем в виде:
(5)
где - максимальные по модулю продольные деформации растяжения (+) и сжатия (-) i-го слоя, - количество слоёв. Проверка выполнения условия прочности осуществляется в каждом слое поперечного сечения для его верхних и нижних границ.
Пример 1. Примем 1 и 3 слои из лиственницы сибирской, 2 слой из берёзы даурской, коэффициент . Проведём серию расчетов, в которых будем изменять ширину верхнего и нижнего слоёв. Введём дополнительное условие на ширину слоёв: мм. Данное условие позволит сохранять неизменными как объём балки, так и стоимость материалов. При другом распределении пород в слоях стоимость материалов будет изменяться. Загружаем балку, увеличивая величину силы F до тех пор, пока в каком-либо слое не выполнится условие (5) со знаком равенства. Результаты расчётов даны в табл.6.
Таблица 6
Результаты расчёта 1
|
№ |
b1 [см] |
b3 [см] |
Fmax [кН] |
wmax [см] |
θmax 10-2 [рад] |
Номер слоя, в котором достигнуты предельные деформации |
Характер начала разрушения: растяжение (+), сжатие (-) |
Степень нагружения нижних волокон, [%] |
|
1 |
100 |
300 |
122 |
6,7 |
4,5 |
2 |
- |
45,0 |
|
2 |
150 |
250 |
148 |
7,3 |
5,0 |
2 |
- |
56,3 |
|
3 |
200 |
200 |
173 |
8,2 |
5,6 |
2 |
- |
71,2 |
|
4 |
250 |
150 |
194 |
9,2 |
6,3 |
2 |
- |
90,0 |
|
5 |
300 |
100 |
190 |
9,0 |
6,2 |
3 |
- |
100,0 |
В столбце 4 приведена величина предельно допустимой нагрузки . В столбцах 5 и 6 максимальное значение прогиба и угла поворота при . Степень нагружения крайних нижних волокон (столбец 9) равна .
Сильная степень разносопротивляемости древесины привела к тому, что наибольшая несущая способность достигается для несимметричного сечения. Также во всех случаях кроме последнего предельные деформации достигались во внутреннем слое сечения.
Пример 2. Расчётную схему балки и форму поперечного сечения возьмём из первого расчёта - рис.7. Примем мм, . Проведём несколько расчётов с неизменной геометрией сечения, но с разными породами слоёв. В первом расчёте (строка 1 табл.6) все слои выполним из граба кавказского. Во втором - в 1 слой поместим породу лучше всего сопротивляющуюся сжатию, а в 3 слой - лучше всего сопротивляющуюся растяжению. В третьем расчёте поменяем породы 1 и 3 слоёв из второго расчёта местами. В четвёртом расчёте 1 слой выполним из породы хуже всего работающей на сжатие, а в 3 слой - из породы хуже всего работающеё на растяжение. В пятом расчёте поменяем породы 1 и 3 слоёв из четвёртого расчёта местами. Для каждого из расчётов 2–5 средний слой будем выполнять в двух вариантах: из древесины с низкой прочностью и малым значением – расчёты 2-5, и из древесины с высокой прочностью и большим значением коэффициента - расчёты 6-9. Загружаем балку до тех пор, пока в каком-либо слое не выполнится условие (5) со знаком равенства. Результаты расчётов даны в табл.7.
Все породы берём из табл. 5. Во втором столбце табл. 7 дано распределение пород по слоям в соответствие с нумерацией табл. 5. Так шифр 291 означает, что первый слой сделан из граба кавказского, второй – из тополя сереющего и третий – из берёзы даурской.
Таблица 7
Результаты расчёта 2
|
№ |
Распреде-ление пород |
Fmax [кН] |
wmax [см] |
θmax 10-2 [рад] |
Номер слоя, в котором достигнуты предельные деформации |
Характер начала разрушения: растяжение (+), сжатие (-) |
Степень нагружения нижних волокон, [%] |
|
1 |
222 |
173 |
11,8 |
8,1 |
3 |
+ |
100 |
|
2 |
291 |
151 |
9,9 |
6,7 |
2 |
- |
58,7 |
|
3 |
192 |
98 |
6,5 |
4,4 |
1 |
- |
59,3 |
|
4 |
994 |
93 |
8,1 |
5,5 |
1 |
- |
66,3 |
|
5 |
499 |
89 |
7,7 |
5,3 |
1 |
- |
51,1 |
|
6 |
211 |
145 |
8,1 |
5,5 |
2 |
- |
50,5 |
|
7 |
112 |
111 |
6,5 |
4,4 |
1 |
- |
59,6 |
|
8 |
914 |
106 |
8,0 |
5,5 |
2 |
- |
66,4 |
|
9 |
419 |
102 |
7,7 |
5,2 |
1 |
- |
50,1 |
Анализируя данные табл.7 можно выделить следующие особенности деформирования и разрушения неоднородных деревянных конструкций:
- В зависимости от распределения пород слоёв разрушение может начинаться как на внешней поверхности балки, так и во внутренних слоях. Иначе говоря, в слоистых конструкциях могут возникать скрытые механизмы разрушения.
- Предельные деформации могут достигаться как в сжатых, так и в растянутых волокнах. При этом резко меняется характер разрушения [1, 6]: достижение предельных деформаций в области сжатия обычно приводит к образованию складок, при этом конструкция сохраняет несущую способность; достижение предельных деформаций в области растяжения приводит к резкому разрушению конструкции.
- Перераспределение пород значительно влияет на несущую способность и деформативность балки. Величина изменяется от 89 до 173 кН, – от 6,5 до 11,8 см и от до рад. Простая перестановка пород во внешних слоях (строки 2,3 табл.7) привела к снижению несущей способности в 1,54 раза.
- Из сравнения расчётов с одинаковыми породами внешних слоёв и разными породами среднего слоя видно, что характеристики среднего слоя не сильно сказываются на несущей способности балки. Максимальное снижение составило 1,15 раза. При этом площадь поперечного сечения среднего слоя в 2,23 раза больше площади наружного слоя.
- Практически во всех расчётах предельные деформации достигались в сжатой зоне. При этом максимальные деформации растяжения составляли (50,1–66,4) % от предельных значений. Что является следствием сильной разносопротивляемости древесины.
Заключение. Как видно из опытных диаграмм деформирования, древесина является сильно физически нелинейным материалом. Графики деформирования при растяжении и сжатии существенно различаются. Поэтому важно учитывать данные особенности в расчёте и проектировании деревянных конструкций. Предложенная в работе аппроксимация диаграмм деформирования многочленами 2-ой и 3-ей степени хорошо согласуется с экспериментальными данными, что подтверждено расчётами.
На примере расчёта неоднородных (слоистых) деревянных конструкций показана возможность изменения характера начала разрушения, а также возникновения скрытых форма разрушения при перестановке пород слоёв. Варьирование породы древесины и формы слоёв приводит к значительному изменению несущей способности и деформативности конструкции.
Используемый в работе метод моделирования диаграмм деформирования различных пород древесины, применим и для бетона и железобетона [25]. В свою очередь, такое единообразное описание законов деформирования различных материалов позволило создать эффективную методику расчёта стержневых деревобетонных конструкций [26].
*Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 15-01-00825.
1. Арленинов Д.К., Буслаев Ю.Н., Игна-тьев В.П., Романов П.Г., Чахов Д.К. Кон-струкции из дерева и пластмасс. М.: Изда-тельство АСВ, 2002. 280 с.
2. Шмидт А.Б., Дмитриев П.А. Атлас строительных конструкций из клееной древе-сины и водостойкой фанеры. М.: Издатель-ство АСВ, 2002. 292 с.
3. Porteous J., Kermani A. Structural timber design to Eurocode 5. John Wiley & Sons, 2013. 640 p.
4. Pischl R., Schickhofer G. The Mur River wooden bridge, Austria // Structural Engineering International. 1993. Vol. 3. №. 4. Pp. 217-219.
5. Poirier E. Design and construction of a 53-meter-tall timber building at the university of British Columbia // Proceedings of WCTE. 2016.
6. Коченов В.М. Несущая способность элементов и соединений деревянных кон-струкций. М.: Гос. изд. лит. по строительству и архитектуре, 1953. 320 с.
7. СП 64.13330.2011 Деревянные конструкции.
8. Ржаницын А.Р. Изгиб и сложное со-противление прямоугольного сечения стерж-ня при произвольной диаграмме работы ма-териала // Расчёт тонкостенных простран-ственных конструкций: сборник статей под ред. А.Р. Ржаницына. М.: 1964. С. 7-22.
9. Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем. М.: Стройиздат, 1974. 208 с.
10. Лукаш П.А. Основы нелиней-ной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. 204 с.
11. Шапиро Д.М., Агарков А.В., Мельничук Н.Н., Чан Тхи Тхюи Ван Нелиней-ные методы расчёта в современном проекти-ровании // Научный журнал строительства и архитектуры. 2009. №3. С. 85-94.
12. Owen D.R., Hinton E. Finite ele-ments in plasticity: Theory and Practice. Swansea, U.K.: John Wiley & Sons, 2013. 640 p.
13. McGuire W., Gallagher R. H., Ziemian R. D. Matrix structural analysis, 2014. 460 p.
14. ГСССД 69-84. Древесина. Пока-затели физико-механических свойств малых чистых образцов. Издание Госстандарта СССР. 1984.
15. Немировский Ю.В. Расчёт и ра-циональное проектирование деревянных стержневых элементов // Современные про-блемы совершенствования и развития кон-струкций в строительстве и транспорте: сборник научных трудов III Междунар. науч-но-технич. конференции. Самара: Изд-во СамГАСУ, 2005. С. 247--251.
16. Немировский Ю.В. Метод рас-чёта композитных стержневых систем из раз-номодульных материалов // Фундаменталь-ные и прикладные проблемы современной механики: материалы V Всероссийской науч-ной конференции. Томск: Изд-во ТГУ, 2006. С.288-290.
17. Исследование прочности и де-формативности древесины. Сборник статей. Под ред. д-ра техн. наук проф. Г.Г. Карлсена. М.: Госстройиздат, 1956. 172 с.
18. Немировский Ю.В., Гребенюк Г.И., Ажермачёв А.В. Расчёт ребристых дере-вянных конструкций с учетом эффектов раз-номодульности и нелинейности сопротивле-ния // Известия вузов. Строительство. 2007. №3. С. 4-12.
19. Квасников Е.Н. Вопросы дли-тельного сопротивления древесины. Л.: Стройиздат, 1972. 96 с.
20. Дрейпер Н., Смит Г. Приклад-ной регрессионный анализ. Кн.1. М.: Финансы и статистика, 1986. 366 с.
21. Волынский В. Н. Взаимосвязь и изменчивость физико-механических свойств древесины. Архангельск: Издательство АГТУ, 2000. 196 с.
22. Боровиков А. М., Уголев Б.Н. Справочник по древесине. М.: Лесная про-мышленность, 1989. 296 с.
23. Немировский Ю.В., Болтаев А.И. Метод расчёта деревянных стропильных покрытий зданий. Сообщение 1: Моделирова-ние и общие закономерности // Известия ву-зов. Строительство. 2014. №3. С. 5-13.
24. Немировский Ю.В., Болтаев А.И. Особенности деформирования и разру-шения деревянных клееных многопролётных балок. Сообщение 1 // Известия вузов. Строи-тельство. 2016. №6. С. 116-126.
25. Немировский Ю.В. Диаграммы деформирования бетонов и железобетонов // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. №6. С. 125-129.
26. Немировский Ю.В. Особенно-сти расчёта деревожелезобетонного балочно-го моста // Вестник СибАДИ. 2016. №5. С. 114-124.
