Воронеж, Воронежская область, Россия
Рассматривается задача построения линейной обратной связи по состоянию для линейной динамической системы методом разложения в ряд матрицы, заданной параметрически, и дальнейшего решения необходимых уравнений. Для решения уравнений используется метод минимизации специальной функции. Приводится практический пример использования данного метода для поиска матрицы обратной связи, позволяющей корректировать управление движением самолета в зависимости от его состояния в реальном времени.
линейная динамическая система, управление, обратная связь,матрица обратной связи, матричная экспонента,численное нахождение минимума функции, самолет с вертикальным взлетом и посадкой.
1. Введение Один из подходов к проблеме построения управления связан с идеей обратной связи. Управление не выбирается заранее, а корректируется в каждый текущий момент на основании информации о состоянии системы. Обратная связь – это процесс передачи информации о состоянии объекта управления управляющему объекту. Одним из способов построения обратной связи для линейной динамической системы является построение с помощью матрицы обратной связи. Выбор управления в форме функции от состояния и момента времени называется синтезом управления . Однако в общем случае после выбора управления в таком виде уравнение состояния становится нелинейным и нестационарным. Поэтому мы ограничимся линейной статической обратной связью по состоянию
, которая к тому же обеспечивает наилучшее значение критерия оптимальности в классе любых управлений [2, 3].
Данным вопросом занимались многие ученые. Например, в работах [1, 2, 3] строится матрица обратной связи путем решения линейных матричных неравенств для задачи стабилизации состояния системы. Стабилизация, а именно - придание функции состояния системы асимптотической устойчивости, также рассматривалась и в работах [4, 5, 6], в которых авторы помимо решения данной задачи ставят еще вопрос о разреженности матрицы обратной связи, т.е требования наличия у вектора управления как можно большего количества нулевых компонент.
В данной работе решается вопрос перевода состояния системы из начальной точки в конечную с помощью обратной связи методом, отличным от описанного в [1, 2, 3], а именно с помощью матричных рядов. Более того здесь рассматривается технология проверки конечной точки на возможность перехода в нее из начальной точки
с помощью управления, синтезированного методом обратной связи. Такой переход можно осуществить далеко не во всякую точку
. Например в работах [2, 3] показано, что из любой точки
невозможно перейти в 0 за конечное время
. Также здесь решается задача проверки допустимого диапазона краевых значений на существование внутри него точки, в которую можно осуществить переход методом обратной связи.
2. Постановка задачи Для полностью управляемой динамической системы
(1)
где
и
- постоянные матрицы соответствующих размеров,
, ставится задача построения такой постоянной матрицы
, что существует управляющая вектор-функция
и функция состояния (траектория) системы
, удовлетворяющие уравнению (1) и следующим условиям:
(2)
и
(3)
Такое управление называют управлением с обратной связью, а матрица
называется матрицей обратной связи.
Более того, требуется найти ограничения на и
, достаточные для разрешимости поставленной выше задачи.
Подставив (3) в (1), сделаем замену
(4)
3. Предварительные сведения Исследование опирается на следующие свойства отображений (отображения и соответствующие им матрицы обозначаются одинаково).
Отображению с прямоугольной матрицей
соответствуют следующие разложения пространств в прямые суммы:
(5)
где
– ядро
, то есть множество решений уравнения
;
– прямое дополнение к
в
;
– образ
, то есть множество значений
;
– прямое дополнение к
в
, то есть дефектное подпространство для
.
Сужение отображения
на
обратимо.
Проекторы на и
, отвечающие разложению (5), обозначаются через
и
соответственно. Вводится называемое полуобратным отображение
, где
– единичное отображение в соответствующем пространстве.
Известен следующий результат[7].
Лемма.
Соотношение
(6)
эквивалентно системе
(7)
(8)
где - произвольный элемент из пространства
.
4.Решение поставленной задачи. Переформулируем задачу.Требуется найти такую связь между и
, что решение
задачи Коши для дифференциального уравнения
(9)
с условием
(10)
удовлетворяет условию
(11)
Задача Коши (9), (10) имеет решение
(12)
где
(13)
Подставив в (12), получим условие для выполнения (11):
(14)
Рассмотрим уравнение для нахождения матрицы :
(15)
следующее из (4).
Вариант 1.Матрица - обратима.
Тогда
(16)
В качестве возьмем матрицу
(17)
Единственным требованием на связь между компонентами краевых значений здесь будет требование
Докажем, что матрица (17) удовлетворяет условию (14). Построив ряд (13) для показанной матрицы , получим
(18)
откуда очевидно следует выполнение условия (14). Используя найденную матрицу , из (16) находим
.
Вариант 2.Матрица не обратима.
Тогда необходимым и достаточным условием разрешимости (15) будет условие
(19)
Для разрешимости уравнения (19) необходимо и достаточно, чтобы
Это эквивалентно тому, что
(20)
Тогда
(21)
с произвольной матрицей
Для проверки соответствия , определенного формулой (20), условию (14) следует подсчитать
.
5. Видоизмененная задача В реальности вероятность того, что заранее заданная точка способствует переходу в нее из произвольной точки
с помощью матрицы обратной связи достаточно низка. Однако в большинстве реальных задач существует целый диапазон благоприятных точек, переход в которые из начальной точки
способствует решению поставленной физической задачи. Вероятность разрешимости подобной задачи гораздо выше, чем рассмотренной ранее.
Теперь поставленная задача изменится следующим образом: требуется найти такую точку , что выполнены неравенства
, где диапазоны
, и для данной точки разрешима поставленная задача (2),(3). Диапазоны для компонент конечного краевого значения здесь зависят от рассматриваемого практического примера.
Запишем матрицу в виде:
(22)
где - компоненты матрицы
(см.(20)), а насчет самих
мы предполагаем наличие ограничения
, где
- некоторое заранее заданное положительное число.
В силу (13) компоненты матрицы
имеют следующий вид:
, где
– элементы матрицы
,
– элементы матрицы
,
– элементы матрицы
. Здесь
.
Для матрицы будем использовать следующую норму
Очевидно, что .
Вернемся к условию (14).
Для его выполнения нужно получить матрицу в параметрическом виде. Воспользуемся разложением
(23)
(24)
Найти сумму ряда (23) с необходимой точностью можно численными методами. Будем считать значение частичной суммы (24) для , добавляя к сумме новые слагаемые до тех пор, пока после взятия
слагаемого остаточный член данного ряда, взятый в форме Лагранжа, не будет удовлетворять ограничению
где
(25)
где – достаточно малое число.
Перепишем ограничение (25) по другому, избавившись от , с помощью следующей оценки.
(26)
Найдя соответствующую частичную сумму ряда (23), получим
(27)
где компоненты полученной матрицы
.
Далее можно записать уравнение (14)
(28)
покомпонентно. Получим систему уравнений
(29)
где для краткости опущены параметры. Теперь поставленная задача сводится к вычислительной задаче о существовании решения системы уравнений (29) на -мерном параллелепипеде
.
Рассмотрим вычислительную задачу.
Если при данных компонентах начальных краевых значений система уравнений (29) имеет корни
, каждый из которых удовлетворяет ограничению
, то при взятой конечной точке
задача обратной связи также разрешима.
В этом случае существует матрица , а благодаря выполнению (19) и матрица
.
Систему уравнений (29) относительно можно решать численными методами. Предлагается следующая технология решения. Пусть
Тогда решение системы уравнений (29) сводится к поиску минимума функции
(30)
на -мерном параллелепипеде
.
Будем находить этот минимум численным методом, показанным в [8].Если - точка в которой функция принимает наименьшее значение, а само наименьшее значение удовлетворяет ограничению
, где
- достаточно малое число, то будем считать, что точка
является корнем системы уравнений (29), иначе будем считать, что система уравнений на
-мерном параллелепипеде
корней не имеет.
6.Применение полученного результата для решения практического примера Рассмотрим пример, иллюстрирующий выполнение показанных в данной статье технологий.
Требуется проверить систему, описывающую движение самолета с вертикальным взлетом и посадкой, на возможность перехода с помощью матрицы обратной связи из заданной начальной точки в конечную точку, принадлежащую заданному диапазону, на участке времени в 6 минут. Его линеаризованная модель движения имеет вид.
(31)
Здесь приняты следующие обозначения для фазовых переменных:
- горизонтальная скорость в узлах ,
- вертикальная скорость в узлах ,
- скорость изменения угла наклона относительно поперечной оси ,
- угол наклона относительно поперечной оси.
Управлениями в системе являются:
- входной сигнал, используемый для управления движением в горизонтальном направлении ;
- входной сигнал, используемый для управления движением в вертикальном направлении.
Здесь - фиктивные компоненты управления, взятые для того, чтобы сделать матрицу управления квадратной. Модель взята из [9].
Так как время в данной задаче взято в секундах, следует перейти к измерению времени в часах, сделав соответствующую замену переменных. Поскольку каждое слагаемое в правой части модели (31) имеет единицу измерения, идентичную единице измерения производной в левой части, то линейная замена переменных не отразится на виде системы уравнений. Аналогично можно перейти от измерения скорости в узлах к измерению в км/ч. После такой замены переменных интересующий нас участок времени будет [0;0.1]. То есть часа.
Пусть даны следующие начальные краевые условия:
(32)
Конечную точку для перехода будем искать в следующем диапазоне:
(33)
Для того, чтобы записать матрицу в виде (20), найдем матрицы
и
.
где – произвольные числа.
Или, введя замены ,
, получим
Тогда
следовательно .
Тогда .
Используем произвольную матрицу .
Тогда пользуясь (20), легко подсчитать матрицу :
где
а введены для менее громоздкой записи матрицы
.
Возьмем для быстроты вычисления на компьютере
и разложим матрицу
в ряд (23) при
требуя, чтобы ограничение для остаточного члена (26) было
.
Тогда примет вид
где
,
,
.
Через 108 итераций получим матрицу в виде
(34)
Здесь опущена полная запись многочленов из-за ее громоздкости.
На основании (29) составим систему уравнений относительно :
(35)
Решим систему уравнений (35) способом, описанным в (30), используя условия (32) и диапазоны (33). Получим решение
.
Допустимой же конечной точкой из диапазона, в которую можно осуществить переход с помощью матрицы обратной связи, будет точка
(36)
При полученной точке и найденных компонентах
значение функции
из (30) равно
, что достаточно близко к нулю.
Далее вернемся к выражению (21) и найдем матрицу .
Найдем для начала и
.
Т.к. найдено выше, а
, то
где
произвольные числа.
Отсюда, пользуясь найденным ранее , находим
Отсюда, благодаря найденной ранее матрице , найдем матрицу
по формуле (21).
Получим
(37)
где
,
,
,
,
,
,
,
, а
– произвольные числа.
1. Хлебников М.В., Щербаков П.С.Ограниченное линейное управление оптимальное по квадратичному критерию специального вида // Труды ИСА РАН. 2013. Т.63. №2. С. 86-89.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 273 с.
3. Поляк Б.Т., Щербаков П.С., М.В. Хлебников Управление линейными системами при внешних возмущениях:техника линейных матричных неравенств. М.: ЛЕНАНД, 2014. 560 с.
4. Хлебников М.В. Управление линейными системами при внешних возмущениях // Автоматика и Телемеханика. 2016. №7. С. 20-32.
5. Поляк Б.Т., Щербаков П.С., Хлебников М.В. Разреженная обратная связь в линейных системах управления // Автоматика и Телемеханика. 2014. №12. С.13-27.
6. Кревенцов Е.Г. Сосредоточение спектра полюсов в точке при компенсационном подходе к синтезу матрицы обратной связи // Тр. 12 Всерос. сов. по пробл. упр. (ВСПУ-2014). Москва, 16-19 июня 2014 г. М : ИПУ РАН, 2014. С. 183-192.
7. Зубова С.П. О критериях полной управляемости дескрипторной системы. Полиномиальное решение задачи управления при наличии контрольных точек. // Автоматика и Телемеханика. 2011. №1. С. 27-41.
8. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках бэйсик, Фортран и Паскаль. М.: РАСКО,1991. 272 с.
9. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.
