Kazan', Kazan, Russian Federation
employee
Kazan', Kazan, Russian Federation
employee
Belgorod, Russian Federation
graduate student
Kazan', Kazan, Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
UDK 624 Строительство инженерных сооружений
GRNTI 67.11 Строительные конструкции
OKSO 08.04.01 Строительство
TBK 5414 Строительные конструкции
BISAC TEC005000 Construction / General
The sources available for analysis do not explain why they adopted exactly such an accuracy (error) of the numerical diagram method for calculating core reinforced concrete elements (calculated and maximum permissible error values), such a control parameter for its evaluation. There is no definitive approach to estimating the error of the method under consideration yet. The available literature does not have a strict theoretical basis. The article is intended to try to correct this situation. For this purpose, the mathematical theory of numerical methods, metrology and the theory of reinforced concrete are involved. The classification of errors arising in determining the true value of the control parameter that integrally characterizes the stress-strain state of the element has been developed (unavoidable errors (≈12, %) – errors of the discrete nonlinear deformation model and inaccuracies in the initial data, errors of the numerical diagram method (≈5 %), computational errors (≈0 %)). The curvature of the axis of the reinforced concrete rod is taken as such a parameter. It is concluded that the maximum value of the permissible error of the numerical diagram method, which characterizes the accuracy, should not exceed 5 % and can be adjusted to decrease (increase accuracy) by clarifying the errors of the computational model and experimental base.
reinforced concrete, nonlinear deformation model, diagram method, deformation diagrams, numerical method, error
Введение. Всё более широкое распространение последние годы в области проектирования железобетонных конструкций приобретает численный диаграммный метод расчёта стержневых элементов (по так называемой нелинейной деформационной модели). Тому есть веские причины: он позволяет учитывать физическую нелинейность материалов, производить расчёты по обеим группам предельных состояний по единым формулам, а также получать напряжённо-деформированное состояние (НДС) рассматриваемых элементов на всех этапах нагружения: от нуля и до разрушения. Метод относительно легко алгоритмизируется и автоматизируется на ЭВМ. При использовании любого численного метода, в том числе рассматриваемого, важными являются вопросы о точности (погрешности), устойчивости, сходимости, корректности метода и о начальном приближении. Данная статья посвящена исследованию точности (погрешности).
В техничке выделяют абсолютную погрешность
|
|
(1) |
и относительную
|
|
(2) |
где и
– соответственно фактическое и опорное значение какого-либо параметра;
,
– расчётные значения соответственно абсолютной и относительной погрешностей;
,
– предельно допустимые значения соответственно абсолютной и относительной погрешностей.
В такой записи формулы (1) и (2), к сожалению, встречаются редко: в доступных литературных источниках разделение на расчётные и предельно допустимые величины погрешностей не производится, что, на наш взгляд, не вполне удобно. Исключение составляет, например, учебное пособие [1].
Отталкиваясь от классификации, обычно рассматриваемой в учебно-методической литературе по численным методам решения математических уравнений, типы погрешностей по их источникам и причинам для рассматриваемых в статье вопросов можно сформулировать следующим образом:
1. Неустранимые погрешности:
1.1. Погрешности, возникающие в ходе идеализации объекта исследований (стержневого элемента) путём построения его математической модели. На эти погрешности в определённой мере можно повлиять учётом факторов действительной работы железобетонного стержня в реальных условиях эксплуатации. Касаемо нелинейной деформационной модели диаграммного метода к таким факторам можно отнести: совместное рассмотрение сразу несколько сечений стержня, равномерно проведённых вдоль его длины; учёт деформаций сдвига в зонах совместного действия M и Q и т.д.
1.2. Неточности в исходных данных: при определении геометрии, нагрузок, физико-механических свойств материалов и т.д. Эти факторы обычно учитываются соответствующими коэффициентами надёжности, принятыми по нормам.
2. Погрешности метода расчёта. Практически все нелинейные задачи железобетона не решаются аналитически, поэтому для этого прибегают к численным методом – например, к численному диаграммному методу. Отсюда возникает погрешность метода.
3. Вычислительные погрешности: 3.1. Погрешности, возникающие при выполнении арифметических действий над приближёнными числами. 3.2. При вычислении значений функций. 3.3. При округлении чисел при вводе данных, выполнении арифметических действий и при выводе данных. 3.4. Погрешности, вызванные ограниченностью разрядной сетки вычислительных устройств.
Оценке точности численного диаграммного метода в литературе за редким исключением практически не уделяется должного внимания [2–6]. Несмотря на это, на рынке компьютерного программного обеспечения инженерных расчётов представлен довольно широкий спектр программных комплексов, в которых реализован численный расчёт нелинейных задач железобетона, в том числе с применением нелинейной деформационной модели. Как в этих программах решены вопросы точности, сходимости, начального приближения и устойчивости, к сожалению, не поясняется.
Далее приведём несколько формул-оценок из различных источников, но для удобства понимания и сравнения перепишем их в единых обозначениях, а также преобразуем под формат формул (1) и (2). При этом смысл, который авторы вкладывали в свои формулы, не нарушится.
Одна из первых оценок приведена в работе [7] в виде относительного среднеквадратического отклонения приращения элементов вектора деформаций на двух смежных итерациях:
|
|
(3) |
где – относительные деформации стержня вдоль оси Oz соответственно на k-й текущей и (k-1)-й итерациях;
,
– кривизны продольной оси стержня относительно осей Ох и Оу на соответствующих итерациях расчёта;
– относительная погрешность метода;
– её предельное допустимое значение.
Выражение (3) называется также условием остановки итерационной последовательности.
В рассматриваемой статье говорится, что при предельно допустимой относительной погрешности , «как показали многочисленные расчёты, достигается хорошая стабилизация напряжённо-деформированного состояния в нормальном сечении за 10…30 итераций».
Эту же оценку погрешности можно найти, например, в работе [8]. В монографии [9] формулу (3) несколько откорректировали, но не принципиально.
К сожалению, эта формула не имеет теоретического обоснования так, в справочной литературе чего-то похожего не обнаружено, а термин «относительное среднеквадратическое отклонение приращения» не обладает математической строгостью. То есть оценки типа (3) приняты её авторами по произволу, по каким-то своим, не понятным читателю, соображениям.
Наиболее подходящая для наших исследований оценка точности приведена в монографии [10]:
|
|
(4) |
Предельно допустимая погрешность по этой формуле в три раза ниже, чем по (6), и в 30 раз ниже, чем по (3) – вновь без обоснований почему.
Иной подход предложен в работе [11]. Согласно ему, относительная погрешность равна:
|
|
(5) |
где – модель деформаций i-ой малой полоски сечения;
– её площадь;
– расстояние от центра полоски до центра тяжести всего сечения;
для арифметики с плавающей точкой, реализованной в процессорах i486 и старше.
Выражение (5) к точности численного диаграммного метода отношения в общем-то не имеет. По сути, оно определяет погрешность, вызванную ограниченностью разрядной сетки вычислительных устройств.
В своих работах [12–14] при рассмотрении изгибаемых и внецентренно сжатых железобетонных стержневых элементов в качестве параметра, по которому даём оценку точности диаграммного метода, мы используем кривизну изогнутой оси стержня . Будем дальнейшие рассуждения вести относительного него.
Методика. Пусть – истинное значение (теоретически установленное опорное значение) отыскиваемого параметра,
– его значение, соответствующего принятой расчётной модели (точнее: дискретной нелинейной деформационной модели),
– значение, получаемое численным диаграммным методом в предположении отсутствия округлений,
– приближение к решению, получаемое при реальных вычислениях. Тогда
|
|
(6) |
Полная погрешность , равная разности между реально получаемым и точным решениям задачи:
|
при этом
|
(7) |
Аналогичные формулы можно построить для относительной погрешности:
|
|
(8) |
Истинное значение отыскиваемого параметра – это теоретическая идеализация опорного значения, установить которую зачастую в силу неразвитости теории не представляется возможным. Поэтому на практике в качестве опорного значения можно использовать принятое значение искомой величины в виде результата хорошо поставленного эксперимента, имеющего, однако, свои погрешности и неопределённости измерений.
Результаты. Погрешность первого типа раскладывается на две составляющие:
|
|
(9) |
где ,
– погрешность математической модели;
,
– погрешность из-за неточности в исходных данных.
На ,
влияют сразу несколько факторов: точность аппроксимации экспериментальных диаграмм бетона и стали, некоторое нарушение гипотезы плоских сечений за границами упругости, не учёт напряжений и деформаций в поперечном направлении и т.д. Оценить влияние этих факторов весьма проблематично. Достаточно одного примера, чтобы это понять. Так, известен такой факт, что при нагрузках, близких к моменту трещинообразования, вид аппроксимации диаграммы деформирования бетона весьма существенно влияет на значения параметров НДС изгибаемого железобетонного элемента (по нашим оценкам до 40 % при одних и тех же значениях Rbt, εbt2 и Eb [7]). А при нагрузках перед разрушением это влияние снижается практически до нуля. То есть имеет место сложная, нелинейная закономерность.
Погрешность определяется ГОСТами на измерение соответствующих параметров в исходных данных. Например, согласно ГОСТ 10180-2012 «Бетоны. Методы определения прочности по контрольным образцам» погрешность измерения линейных размеров не должна превышать 1 %, погрешность определения массы (собственного веса)
образцов – не более 0,1 %. По ГОСТ 8829-94 «Изделия строительные железобетонные и бетонные заводского изготовления. Методы испытаний нагружением. Правила оценки прочности, жесткости и трещиностойкости» нагружение выполняется с погрешностью не более 5 % от величины контрольной нагрузки. В среднем относительная погрешность получается . При этом использовать математическую модель, погрешность которой больше погрешности в исходных данных, теряет всякий смысл. Поэтому мы в праве потребовать от неё, чтобы выполнялось условие
, тогда
. Таким образом, относительная погрешность первого
типа приближённо равна . При этом следует отметить, что значения погрешности одной и той же величины, принимаемой в расчётах по первой либо второй группе предельных состояний, должны отличаться. Очевидно, что для второй группы предельно допустимая погрешность должна быть больше, чем по первой. Изучению этого вопроса будет посвящена отдельная публикация.
Погрешность ,
можно принять по [5]:
,
. При этом в сравнении с первым типом эта погрешность
(
) и ей можно поэтому пренебречь.
Более подробно займёмся точностью численного диаграммного метода, то есть оценкой для ,
. Эта погрешность имеет два источника:
|
|
(10) |
где ,
– погрешность, которая возникает при вычислении параметров НДС сечения, зависящих от численного интегрирования эпюры растягивающих и/или сжимающих напряжений в бетоне (либо функции секущего модуля деформаций);
,
– погрешность итерационного вычисления управляющего параметра алгоритма численного диаграммного метода – в нашем случае погрешность итерационного вычисления кривизны
.
Погрешность ,
возникает при вычислении жёсткости бетонного сечения, предельных значений продольной силы или изгибающего момента, кривизны на данной итерации и др. При этом стержневое армирование, что в аналитической постановке диаграммного метода, что в численной, учитывается одинаково – дискретно, поэтому влияние на погрешность метода не оказывает. Тогда на примере изгибаемого элемента для бетонной части его прямоугольного сечения можно записать следующие формулы жёсткости и момента, воспринимаемого этим сечением:
|
аналитически,
|
(11) |
где ,
– жёсткость бетонной части сечения, полученная соответственно аналитическим и численным интегрированием (промежуточный результат расчёта);
,
– момент, воспринимаемый бетоном (один из конечных результатов расчёта); b, h – ширина и высота бетонного прямоугольного сечения;
,
– секущий модуль деформаций бетона в конкретной фибре сечения;
,
– напряжения в данной фибре бетона;
– координата этой фибры относительно выбранного центра координат;
– расстояние от начала координат до центра тяжести приведённого сечения;
– высота полосок, на которые разбивается сечения для выполнения процедуры численного интегрирования.
При этом абсолютная и относительная погрешности численного интегрирования будет равны ,
,
,
.
Функции и
могут быть аппроксимированы полиномом нулевой, первой и четвёртой степени и соответственно для вычисления (11) используют формулы численного интегрирования прямоугольников (левых, правых и срединных), трапеций и Симпсона. На примере левых прямоугольников:
|
|
(12) |
Погрешность с учётом [7] равна:
|
|
(13) |
Для производная
Тогда . Для кривизны
, заметим, что абсолютная погрешность равна
. Дальнейшие рассуждения будем вести на примере погрешности
, так как погрешности всех прочих величин можно выразить через эту. Поэтому запишем
.
Максимум производная функции достигает в точке с координатами у=h,
:
,
.
Таким образом, погрешность равна:
|
|
(14) |
Видно, что значение первой составляющей погрешности численного диаграммного метода и соответственно погрешности метода в целом зависит от параметров, которые можно разделить на две группы:
1 – параметры, которые задаются до начала расчёта: габариты сечения – b, h, количество разбиений сечения на элементарные площадки (полоски) – n;
2 – параметры, которые заранее неизвестны и определяются только в конце расчёта (итерации): напряжения в крайней фибре бетона – , результирующее усилие, воспринимаемого бетонным сечением –
, положение нейтральной оси –
.
Присутствие в формулах (17) параметров 2-й группы не даёт возможности заранее предугадать значение погрешности (
) и распространить её зависимость от количества разбиений –
,
– на все расчётные случаи железобетонного сечения, то есть для каждого случая будет своя функция, зависящая сразу от нескольких аргументов:
,
. Получение этих зависимостей может представлять определённый научный интерес, но для практики их ценность, если и не равна нулю, то, по крайней мере, неоднозначна.
Теперь дадим оценку для погрешностей ,
итерационного вычисления кривизны
. Далее для краткости индекс и верхнюю тильду опустим и будем писать
.
В самом общем виде для стержневых элементов, в которых помимо прочих деформаций происходит изгиб, постановка задачи для решения её диаграммным методом состоит в том, чтобы решить уравнение вида:
|
|
(15) |
с корнем t в интервале [a;b]. При этом в качестве границ интервала, как показывает опыт расчётов, можно принять a=-0,1, b=0,1 практически для любых железобетонных элементов. Функция g предполагается непрерывной на этом интервале.
Попутно отметим, что при центральном растяжении либо сжатии χ=0. Поэтому в качестве управляющего параметра алгоритма нужно принять другую величину. Под эту роль лучше всего подходит осевая жёсткость сечения B1=νbEbAb+νsEsAs.
Решим уравнение (15) численным методом простой итерации. Так, если известен какой-либо член последовательности χk, например, χ0 [a;b], то χk+1 можно взять
. Здесь k=0,1,2…n – соответственно номер текущей итерации и общее количество итераций. Тогда рекуррентная формула метода имеет вид:
|
|
(16) |
Если существует конечный предел и функция g непрерывна в точке z, переходом к пределу в равенстве (16) получим
, то есть число z является корнем уравнения (15). Если z
[a;b], то в силу единственности корня на отрезке [a;b] z совпадает с t.
Вычисления по формуле (16) проиллюстрированы на рис. 1.
Построим графики функций из левой и правой частей уравнения (15), то есть линии y=χ и y=g(χ). Они должны пересекаться в точке с абсциссой t. Взяв некоторое число χ0, вычислим g(χ0) и получим на кривой y=g(χ) точку А0. Линия проекции этой точки на ось Оу пересечёт прямую y=χ в точке В1. Проекция В1 на ось Оχ даёт χ1. Из равенства треугольников ΔОВ1χ1 и ΔОВ1g(χ0) геометрически χ1=g(χ0). Проекция χ1 на кривую y=g(χ) даёт точку А1. Линия проекции этой точки на ось Оу пересечёт прямую y=χ в точке В2. Проекция В2 на ось Оχ даёт χ2. Из равенства треугольников ΔОВ2χ2 и ΔОВ2g(χ1) геометрически χ2=g(χ1). И т.д. Через какое-то количество итераций n величина χi = χn настолько близко подойдёт к t, что её можно буде считать ответом. Это количество шагов будет определять точность приближения >0.
Рис. 1. К численному методу простой итерации для отыскания кривизны
Таким образом, полная погрешность диаграммного метода равна:
|
|
(17) |
Особый практический интерес в данной работе представляет определение предельно допустимых значений погрешностей ,
. В теории железобетона он в принципе не рассматривается, а в метрологии, как показывает анализ литературы [15], он остаётся всё ещё до конца не решённым. Утверждается, что «в рамках метрологии обосновать выбор значения допустимой погрешности невозможно» Тем не менее изложим свои соображения на этот счёт.
Сразу проясним, что погрешность расчёта физических величин, которые используются в алгоритме диаграммного метода и характеризуют НДС железобетонной конструкции, не должна превышать предельно допустимой погрешности измерения этих физических величин с помощью соответствующих приборов и оборудования.
При этом непосредственно кривизну, жёсткость, момент и т.п. параметры не измеряют. Это всё расчётные величины. В экспериментах с железобетонными конструкциями при действии на них статической нагрузки измерению подлежат по сути только лишь три типа параметров:
1 – нагрузки (иногда ещё и реакция опор) – с помощью механических или электрических приборов: манометрами, динамометрами, датчиками давления и т.п.;
2 – геометрия – с помощью рулеток, линеек, штангенциркулей и т.п.;
3 – изменения геометрии по мере нагружения, то есть перемещения и
деформации – с помощью прогибомеров, тензометров и т.п.
Очевидно, что для определения ,
можно воспользоваться допусками из соответствующих ГОСТов – по аналогии с погрешностями исходных данных. Так, ГОСТ 8829-2018 «Изделия строительные железобетонные и бетонные заводского изготовления. Методы испытаний нагружением. Правила оценки прочности, жесткости и трещиностойкости (с Поправкой)» предельно допустимая относительная погрешность при определении нагрузки составляет 2 %. При этом ГОСТ 10180-2012 регламентирует погрешность при определении нагрузки от собственного веса ограничивать 0,1 %. Принимаем наибольшее значение
= 2 %. Согласно тому же ГОСТу 10180-2012 предельно допустимая относительная погрешность измерения линейных размеров равна
=1 %. По упомянутому выше ГОСТу 8829-2018 предельно допустимая относительная погрешность измерения деформаций и перемещений равна
=3 %.
Запишем зависимость кривизны от параметров каждого из трёх типов. Так, известно такое выражение:
|
|
(18) |
где величина относительных деформаций в бетоне и арматуре зависит от уровня нагрузки: ,
.
С другой стороны, известно также такое выражение:
|
|
(19) |
Тогда , откуда следует
или
,
~
.
Тогда по правилу сложения погрешностей будем иметь:
|
|
(20) |
Подставляя численные значения погрешностей в формулу (34), получим:
Таким образом: .
Предельно допустимое значение полной погрешности ,
должно быть ниже погрешность эксперимента
,
, которая уже определяется изменчивостью получаемых результатов (соответственно среднеквадратическим отклонением от среднего и коэффициентом вариации). Из своего опыта и из доступной литературы
. Тогда с учётом
можно дать приближённую оценку предельной погрешности математической модели
|
|
(21) |
Согласно этой формуле к адекватности в целом и погрешности в частности расчётной модели предъявляются достаточно жёсткие требования, которые можно тем не менее ослабить за счёт повышения точности численного метода. Так, если принять , тогда
.
Выводы. Таким образом, точность численного диаграммного метода не может быть принята произвольно. Максимальное значение допустимой погрешности , которое характеризует точность, не должно превышать 5% и может быть скорректировано в сторону уменьшения (повышения точности) за счёт уточнения погрешностей расчётной модели и эксперимента.
Заключение. Дальнейшим развитием данных исследований послужит исследование сходимости численного диаграммного метода расчёта железобетонных элементов.
1. Gvozdev V.D. Applied metrology: measurement accuracy [Prikladnaya metrologiya: tochnost' izmerenij]. Moscow: MIIT, 2011. 72 p. (rus)
2. Schäfer M. Computational Engineering - Introduction to Numerical Methods. Berlin-Heidelberg-New York: Springer. 2020, 325 p.
3. Boldo S., Faissole F., Chapoutot A. Round-off Error Analysis of Explicit One-Step Numerical Integration Methods. 24th IEEE Symposium on Computer Arithmetic, Jul 2017, London, United Kingdom [Electronic resource]. System requirements: Adobe Acrobat Reader. URL: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01581794 (date of application)
4. Wael M. Hassan Numerical error assessment in nonlinear dynamic analysis of structures. HBRC Journal. 2019. Vol. 15. No 1. Pp. 1-31.
5. Corriou J.-P. Numerical Methods of Optimization. Cham: Springer. 2019, 311 p.
6. Jadran Čarija, Mijo Nikolić, Željana Nikolić. Overview of the numerical methods for the modelling of reinforced concrete structures. Zajednički temelji. 2021. Pp. 15-21.
7. Baykov V.N., Dodonov M.I., Rastorguev B.S., Frolov A.K., Mukhamediev T.A. General case of calculating the strength of elements by normal sections [Obshchij sluchaj rascheta prochnosti elementov po normal'nym secheniyam]. Concrete and reinforced concrete. 1987. No. 5. Pp. 16-18.
8. Evdokimova T.S. Stress-strain state and strength calculation of obliquely compressible fibro-reinforced concrete elements: diss. candidate of technical sciences [Napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie i raschet prochnosti kososzhimaemyh fibrozhelezobetonnyh elementov: diss. kand. tekhn. nauk]. St. Petersburg, 2017. 150 p. (rus)
9. Kodysh E.N., Nikitin I.K., Trekin N.N. Calculation of reinforced concrete structures made of heavy concrete by strength, crack resistance and deformations. Monograph [Raschyot zhelezobetonnyh konstrukcij iz tyazhyologo betona po prochnosti, treshchinostojkosti i deformaciyam. Monografiya]. M.: Publishing House of the ASV, 2011 352 p. (rus)
10. Dykhovichny A.A. Statically indeterminate reinforced concrete structures [Staticheski neopredelimye zhelezobetonnye konstrukcii]. Kiev: Budivelnik, 1978. 108 p. (rus)
11. Lazovsky D.N., Glukhov D.O., Leshkevich O.N. Features of calculation of statically indeterminate reinforced concrete structures taking into account geometric and physical nonlinearity by the finite element method [Osobennosti rascheta staticheski neopredelimyh zhelezobetonnyh konstrukcij s uchetom geometricheskoj i fizicheskoj nelinejnosti metodom konechnyh elementov]. Vestnik of Polotsk State University. Series B: Applied Sciences. 2004. No. 1. Pp. 66-73. (rus)
12. Sokolov B.S., Radaykin O.V. To build a common method of measuring firmly-STI, stiffness and fracture toughness bendable concrete elements taking into account the joint action of bending moments and shear forces with the use of nonlinear deformation model [K postroeniyu edinoj metodiki raschyota prochnosti, zhyostkosti i treshchinostojkosti izgibaemyh zhelezobetonnyh elementov s uchyotom sovmestnogo dejstviya izgibayushchih momentov i pererezyvayushchih sil s primeneniem nelinejnoj deformacionnoj modeli]. Fundamental research of architecture on the scientific development of architecture, urban planning and from the construction industry of the Russian Federation in 2014 Kursk: Publishing house Business printing, 2015. Pp. 589-596. (rus)
13. Karpenko N.I., Sokolov B.S., Radaykin O.V. Design of concrete, reinforced concrete, stone and reinforced stone elements and structures with the use of diagram calculation methods: monograph [Proektirovanie betonnyh, zhelezobetonnyh, kamennyh i armokamennyh elementov i konstrukcij s primeneniem diagrammnyh metodov raschyota: monografiya]. Moscow: Publishing House of the ASV, 2019. 194 p. (rus)
14. Radaykin O.V. Strength of reinforced concrete elements of a rectangular profile under oblique off-center compression using a nonlinear deformation model [Prochnost' zhelezobetonnyh elementov pryamougol'nogo profilya pri kosom vnecentrennom szhatii s primeneniem nelinejnoj deformacionnoj modeli]. Construction and Reconstruction. 2020. No. 1. Pp. 31-39. (rus)
15. Gvozdev V.D. Permissible measurement error: choice of value [Dopustimaya pogreshnost' izmerenij: vybor znacheniya]. Zakonodatelnaya i prikladnaya metrologiya. 2013. No. 1. Pp. 44-48. (rus)
