employee
Belgorod, Belgorod, Russian Federation
employee
VAC 05.17.00 Химическая технология
VAC 05.23.00 Строительство и архитектура
UDK 62 Инженерное дело. Техника в целом. Транспорт
The problems of non-stationary heat conduction in multilayer objects. The solution of the boundary of the homogeneous problem with unsteady boundary conditions of the third kind. The basis of the solutions put: the Fourier method of separation of variables in eigenfunctions of the integral of Duhamel. The proposed solution has the form of an explicit form and thanks to the recurrent form of recording basic relations can be useful in numerical calculations and analysis of the kinetics of transient heating (cooling) multilayer objects.
boundary value problem, the Fourier heat equation, multi-object unsteady boundary conditions of the third kind, explicit form of recursive solutions
Многие важные практические задачи расчета температурных полей в многослойных объектах могут рассматриваться как одномерные. Ранее автором было предложено аналитическое решение однородной задачи нестационарной теплопроводности в многослойных объектах при стационарных граничных условиях третьего рода [1].
Ниже приведено решение такой задачи при нестационарных граничных условиях третьего рода.
В общем случае математическая постановка одномерной задачи теплопроводности для многослойных объектов определяется следующей системой дифференциальных уравнений:
, xi-1 ≤ r ≤ xi , i = 1, 2,…n (1)
где аi,– соответственно коэффициенты температуропроводности i-го слоя; Ti(r,t) – температурное поле i -го слоя; x0, xn – соответственно координаты нижней и верхней геометрической (свободной) поверхности объекта;
Будем полагать также, что объект является изотропным, т.е. теплофизические параметры в каждом слое постоянны и однородны по всему занимаемому ими объему.
Граничные условия на свободных поверхностях r = xo ,r = xn определим как граничные условия третьего рода, полагая, что граничные условия первого и второго рода могут быть представлены как частные случаи граничных условий третьего рода.
В таком случае согласно [2] запишем:
,
(2)
Граничные условия сопряжения температурных полей и тепловых потоков на границах раздела слоев в общем виде определяются следующими выражениями:
,
(3)
i = 1, 2,…n-1,
где λi – теплопроводность i- го слоя.
Начальное распределение температурных полей в каждом слое имеет вид:
, i = 1, 2,…n (4)
Если представить искомое решение задачи в виде суммы
(5)
то задача сводится к определению функций , которые являются решением задачи с нулевыми начальными условиями и удовлетворяют следующим уравнениям:
, xi-1 ≤ r ≤ xi , i = 1, 2,…n (6)
,
(7)
,
(8)
i = 1, 2,…n-1,
, i = 1, 2,…n (9)
В общем случае решение задачи с неоднородными граничными условиями, зависящими от времени, может быть определено интегралом Дюамеля [2, 3]:
, при t>0 (10)
где – решение задачи при условии, что τ является параметром.
Тогда функции должны удовлетворять дифференциальному уравнению (5) с начальными условиями
=0 и граничным условиям на свободных поверхностях r=x0, xn, а также условиям сопряжения:
,
(11)
,
(12)
i = 1, 2,…n-1
В соответствии с найденным решением функции определяются следующими выражениями:
(13)
а функции имеют вид:
(14)
где – собственные функции задачи
, i = 1,2,…n (15)
(16)
(17)
i = 2,3,…n.
,i = 2,3,…n (18)
,
– собственные числа задачи, определяемые согласно уравнения
m = 0,1,2.. (19)
(20)
(21)
,
, i = 2,3,…n (22)
,i = 1, 2,…n. (23)
Весовая функция , а также конкретный вид функций
и
определяются выражениями:
а). Декартова (прямоугольная) система координат:
(24)
б). Сферическая система координат:
(25)
в). Цилиндрическая система координат:
(26)
Важное замечание:
Иногда при решении задач для сплошного шара или цилиндра полученное решение требует ограниченности в центре шара или на оси цилиндра. Тогда нижние и верхние граничные условия записываются в следующем виде:
,
(27)
В таком случае в полученном решении для многослойных объектов следует полагать
, i=1,2...n (28)
и далее все расчеты проводятся в соответствии с основным решением.
Таким образом, нами получено общее решение краевой однородной задачи с нестационарными граничными условиями третьего рода. Предложенная форма решения имеет явный вид и благодаря рекуррентной форме записи основных соотношений может быть полезной при численных расчетах и анализе кинетики нестационарного нагрева (охлаждения) многослойных объектов.
Различные частные решения подобных задач могут быть сразу же записаны с учетом граничных условий (2), а также выражений (4), (5), (14) и (24) – (28).
1. Vendin S.V. K raschetu nestacionarnoy teploprovodnosti v mnogosloynyh ob'ektah pri granichnyh usloviyah tret'ego roda // IFZh. 1993. T.65. №1. C. 98-100.
2. Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdyh tel: Ucheb. Posobie. Izd. 3-e, pererab. i dop. M.: Vysshaya shkola, 2001. 550 s.:
3. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov. M.: Nauka, 1984. 835 s.
4. Vendin S.V., Scherbinin I.A. k raschetu rasprostraneniya elektromagnitnogo impul'sa pri SVCh obrabotke dielektricheskih sred // Vestnik Belgorodskogo gosudarstvennogo tehnologicheskogo universiteta im. V.G. Shuhova. 2015. № 2. S. 204-206.
