EXACT METHODS CALCULATE THE NECESSARY AMOUNT OF REPEAT EXPERIENCEEXACT METHODS CALCULATE THE NECESSARY AMOUNT OF REPEAT EXPERIENCE
Abstract and keywords
Abstract (English):
The article examines the new, more accurate method for calculating the required number of repeated experiments during the experimental research in the field of mechanical engineering. It proposed, justified and tabulated new tn-criterion the minimum necessary number of repeated experiments. It was found that the new method provides stable and more accurate results, do not require a large number of trial runs, versatile, can be applied to all samples at all the requirements for measurement accuracy and confidence received any probability calculations.

Keywords:
accuracy, a series of duplicate experiments, the experiment, the number of repeat tests, Student's t-test
Text
Publication text (PDF): Read Download

Известно, что для обеспечения заданной точности и надежности измерений при проведении совокупности повторных (параллельных) опытов необходимо знать минимальное их количество. При этом во многих работах [1–5] описывается методика, согласно которой для определения количества опытов проводят пробную серию дублирующих опытов, производят статистическую обработку результатов эксперимента и по формуле (1) определяют минимально необходимое количество опытов:

nminσtakT2 ,                           (1)

где a  - среднее значение, а σ – среднеквадратичное отклонение измерений; kT - требуемая точность измерений в относительных единицах (задаётся в % или десятичной дробью условием задачи); t критерий Стьюдента, выбираемый по таблице [3] в зависимости от числа проведенных опытов n или числа степеней свободы  f=n-1 и заданной доверительной вероятности Pд .

Если требуемая точность измерений задана в абсолютных единицах Δ (мм, с., Н, МПа и др.), то формула (1) принимает вид:

nminσt2 ,                           (2)

Анализируя формулы (1) и (2) несложно заметить их противоречивость. По логике, искомому числу nmin в левой части формул должны строго соответствовать значения t и σ в правой части. Так как nmin  нам неизвестно, то, очевидно, принятие t и σ по результатам пробного эксперимента с числом опытов nпр является логически неверным, так как в общем случае nпрnmin, что и подтверждается многочисленными экспериментами. Была предложена новая методика расчёта минимально необходимого числа повторных опытов. Сущность её заключается в следующем.

Формулы (1)  и (2) преобразуем таким образом, чтобы в одной части формул находились только расчётные параметры, в другой – только табличные. Так как табличное значение t – критерия Стьюдента определяется по заданной доверительной вероятности и числу степеней свободы [6–10]  f=n-1  , то nmin можно выразить как  nmin=f+1 . Тогда формулы (1)  и (2) можно привести к виду:

    ктaσtf+1                           (3)

σtf+1                              (4)

Выражение в правой части формул состоит только из табличных взаимосвязанных параметров t и  f , взятых из таблицы коэффициента Стьюдента, и является табличным критерием минимального числа повторных опытов. Обозначим его как tпт=tf+1  . Расчётное значение критерия представляет собой левые части формул (3) и (4), то есть:

  tпр=ктaσ                              (5)

 

  tпр=σ                               (6)

Таким образом, для обеспечения заданной точности и надёжности измерений должно быть выполнено условие:

   tпр=ктaσtпт=tf+1               (7)

 

tпр=σtпт=tf+1                   (8)

Тогда минимальное количество повторных опытов выборки по новой методике определяется в следующей последовательности.

  1. Проводят предварительный эксперимент с n количеством повторных опытов (достаточно 3-4 опыта).
  2. Вычисляют среднеарифметическое ā и среднеквадратичное отклонение σ измерений.
  3. Известными методами [1–5] из статистического ряда измерений исключают грубые ошибки (резко отличающиеся измерения) и для оставшегося ряда пересчитывают ā и σ.
  4. Определяют расчётное значение tпр  –критерия минимального количества повторных опытов  по формулам  (5)  или  (6).
  5. Для выполнения требований (7) и (8) выбирают ближайшее меньшее или равное относительно расчётного табличное значение tп  – критерия по следующей расширенной таблице t – критерия Стьюдента, которая для доверительных вероятностей Рд =0,90; 0,95;0,99 имеет вид: 

 

Таблица 1

Таблица tп- критерия минимального количества повторных опытов

f

Рд=0,90

Рд=0,95

Рд=0,99

t

tп

t

tп

t

tп

1

6,3130

4,4640

12,7060

8,9845

63,6560

45,0116

2

2,9200

1,6859

4,3020

2,4838

9,9240

5,7296

3

2,3534

1,1767

3,1820

1,5910

5,8400

2,9200

4

2,1318

0,9534

2,7760

1,2415

4,6040

2,0590

5

2,0150

0,8226

2,5700

1,0492

4,0321

1,6461

6

1,9430

0,7344

2,4460

0,9245

3,7070

1,4011

7

1,8946

0,6698

2,3646

0,8360

3,4995

1,2373

8

1,8596

0,6199

2,3060

0,7687

3,3554

1,1185

9

1,8331

0,5797

2,2622

0,7154

3,24498

1,0277

10

1,8125

0,5465

2,2281

0,6718

3,1693

0,9556

11

1,7950

0,5182

2,2010

0,6354

3,1050

0,8963

12

1,7823

0,4943

2,1788

0,6043

3,0845

0,8555

13

1,7709

0,4733

2,1604

0,5774

3,0123

0,8051

14

1,7613

0,4548

2,1448

0,5538

2,9760

0,7684

15

1,7530

0,4383

2,1314

0,5329

2,9467

0,7367

16

1,7450

0,4232

2,1190

0,5139

2,9200

0,7082

17

1,7396

0,4100

2,1098

0,4973

2,8982

0,6831

18

1,7341

0,3978

2,1009

0,4820

2,8784

0,6604

19

1,7291

0,3866

2,0930

0,4680

2,8609

0,6397

20

1,7247

0,3764

2,0860

0,4552

2,8453

0,6209

21

1,7200

0,3667

2,0790

0,4432

2,8310

0,6036

22

1,7167

0,3580

2,0739

0,4324

2,8188

0,5878

23

1,7139

0,3498

2,0687

0,4223

2,8073

0,5730

24

1,7109

0,3422

2,0639

0,4128

2,7969

0,5594

25

1,7081

0,3350

2,0595

0,4039

2,7874

0,5467

26

1,7050

0,3281

2,0560

0,3957

2,7780

0,5346

27

1,7033

0,3219

2,0518

0,3878

2,7707

0,5236

28

1,7011

0,3159

2,0484

0,3804

2,7633

0,5131

29

1,6991

0,3102

2,0452

0,3734

2,7564

0,5032

30

1,6973

0,3048

2,0423

0,3668

2,7500

0,4939

32

1,6930

0,2947

2,0360

0,3544

2,7380

0,4766

34

1,6909

0,2858

2,0322

0,3435

2,7284

0,4612

36

1,6883

0,2776

2,0281

0,3334

2,7195

0,4471

38

1,6860

0,2700

2,0244

0,3242

2,7116

0,4342

40

1,6839

0,2630

2,0211

0,3156

2,7045

0,4224

42

1,6820

0,2565

2,0180

0,3077

2,6980

0,4114

44

1,6802

0,2505

2,0154

0,3004

2,6923

0,4013

46

1,6787

0,2449

2,0129

0,2936

2,6870

0,3919

48

1,6772

0,2396

2,0106

0,2872

2,6822

0,3832

50

1,6759

0,2347

2,0086

0,2813

2,6778

0,3750

60

1,6706

0,2139

2,0003

0,2561

2,6603

0,3406

70

1,6689

0,1981

1,9944

0,2367

2,6479

0,3142

80

1,6640

0,1849

1,9900

0,2211

2,6380

0,2931

90

1,6620

0,1742

1,9867

0,2083

2,6316

0,2759

100

1,6602

0,1652

1,9840

0,1974

2,6259

0,2613

 

 

По изложенной методике таблица может быть расширена.

  1. По выбранному табличному  tп  - критерию по этой же таблице определяют соответствующее выбранному критерию число степеней свободы f и рассчитывают минимально необходимое количество повторных опытов: nmin=f+1 .
  2. Если окажется число предварительных опытов n<nmin , то эксперимент продолжают до общего числа опытов n=nmin . После чего делают перерасчёт ā и σ. Если окажется nnmin   то считают предварительный эксперимент достаточным, а все предварительные расчёты достоверными.

Пример. В результате экспериментальных исследований стойкости резцов и после исключения грубых ошибок был получен следующий статистический ряд стойкости в мин: 71.00; 66.00; 69.00; 72.00; 68.00; 67.00. При этом среднее значение стойкости составило Т =68,83мин. Определим расчётное значение tn – критерия минимального количества повторных опытов:

tпр=КтТσ=0,15∙68,832,32=4,45,

где Кт=0,15(15%) – заданная допустимая погрешность измерений.

Выбираем по табл.1 ближайшее меньшее значение tn критерия относительно расчётного 4,45. При заданной доверительной вероятности Ра=0,95 это значение равно 2,4838, что соответствует числу степеней свободы f=2 (см. отмеченное в табл.1). Тогда минимально необходимое количество повторных опытов nmin=f+1=2+1=3. Так как в данном примере n=6> nmin=3, то количество опытов следует считать достаточным, а все результаты статистической обработки измерений – достоверными.

Для сравнения точности двух методик: традиционной методики, базирующейся на неравенствах (1) и (2) и методики, базирующейся на новом tn – критерии (см. неравенства (3) и (4)), было проведено соответственно два комплекса расчётов минимально необходимого количества повторных опытов. В каждом комплексе, используя исходный статистический ряд измерений вышеизложенного примера, было обработано пять вариантов измерений с числом повторных опытов n=6,5,4,3 и 2. При этом, начиная с n=6, каждый последующий вариант статистического ряда получался путём отбрасывания крайнего правого опыта предшествующего варианта. Исходные данные и результаты расчётов приведены в табл.2.

 

Таблица 2

Результаты расчётов минимального количества повторных опытов по двум методикам    для пяти вариантов экспериментов

 

Значения параметров статистических рядов измерений для пяти вариантов экспериментов с числом n повторных опытов

6

5

4

3

2

1

2

3

4

5

6

Стойкость инструментов в эксперименте, мин

71;66;69;

72;68;67

71;66;69;

72;68

71;66;69;

72

71;66;69

71;66

Среднее значение стойкости в эксперименте, мин

68,8

69,2

69,5

68,7

68,5

Среднеквадратичное отклонение измерений, мин

2,32

2,39

2,65

2,52

3,53

Расчётное значение tn-критерия (tпр)

4,45

4,34

3,93

4,09

2,91

Ближайшее меньшее табличное (tпт) значение tn-критерия при Рд=0,95

2,48

2,48

2,48

2,48

2,48

Минимально необходимое количество повторных опытов в эксперименте, полученное:

-традиционным методом по формулам (1),(2)

-по tn-критерию

 

 

1

 

3

 

 

1

 

3

 

 

1

 

3

 

 

2

 

3

 

 

20

 

3

 

 

Для наглядности различий двух метод определения минимального количества nmin повторных опытов построим график изменения nmin при изменении числа n пробных опытов: nmin=f(n), используя для этого результаты расчётов табл.2.

Многочисленными экспериментами, выполненными в БГТУ им. В.Г. Шухова, установлено многообразие возможных зависимостей nmin от числа повторных опытов, средних значений и дисперсий измерений, от требований к их точности и доверительной вероятности вычислений. На рис.2 показаны некоторые возможные варианты графиков, полученных в экспериментах при варьировании количеством пробных опытов одной выборки.

 

Рис. 1. График изменения минимально необходимого количества повторных опытов nmin  при варьировании

 количеством n пробных опытов вышеописанного эксперимента: а – традиционный метод определения nmin;

 в – метод tn-критерия

 

2_а 2_б

 

Рис. 2. Некоторые варианты графиков nmin=f(n),полученные в реальных экспериментах

 

 

Несмотря на многообразие графиков nmin=f(n) можно сделать следующие обобщающие выводы.

1.Новый метод определения минимально необходимого количества повторных опытов по tn-критерию в отличие от традиционного метода даёт стабильные результаты, не требует большого количества пробных опытов (достаточно 3-4) и дополнительной проверки.

2.Традиционный метод определения nmin при числе пробных опытов n>3 занижает минимально необходимое количество повторных опытов и практически всегда завышает при n=2 (иногда и при n=3).

3.Новый метод, базирующийся на tn-критерий уникален, может применяться для любых выборок при любых требованиях к точности измерений и любых принимаемых доверительных вероятностей расчётов.

References

1. Afanas'ev A.A., Pogonin A.A. Fizicheskie osnovy izmereniy. Belgorod: Izd-vo BGTU im. V.G. Shuhova, 2008. 275 s.

2. Boyko A.F., Voronkova M.N. Teoriya planirovaniya mnogofaktornogo eksperimenta. Belgorod: Izd-vo BGTU, 2013. 72 s.

3. Yur'ev A.G., Seryh I.R. Osnovy nauchnyh issledovaniy. Belgorod: Izd-vo BGTU, 2005. 86 s.

4. Lesovik V.S., Chernysheva N.V. Osnovy nauchnyh issledovaniy. Belgorod: Izd-vo BGTU, 2010. 89 s.

5. Schetinina I.A., Tihomirova T.I. Osnovy nauchnyh issledovaniy. Belgorod: Izd-vo BGTU, 2010. 93 s.

6. Novik F.S., Arsov Ya.B. Optimizaciya processov tehnologii metallov metodami planirovaniya eksperimentov. M.: Mashinostroenie, 1980. 304 s.

7. Rozanov Yu.N. Metody matematicheskoy statistiki v materialovedenii. L.: Mashinostroenie, 1990. 232 s.

8. Barabashuk V.I. Planirovanie eksperimenta v tehnike. K.: Tehnіka, 1984. 200 s.

9. Greshnikov V.A., Volkov B.N., Kubarev A.I. Statisticheskie metody obrabotki empiricheskih dannyh. M.: Izd-vo standartov, 1978. 232 s.

10. Adler Yu.P. Vvedenie v planirovanie eksperimenta. M.: Metallurgiya, 1968. 155 s.


Login or Create
* Forgot password?