TO DETERMINATION OF THE CRACKING MOMENT FOR BENDING REINFORCED CONCRETE ELEMENTS WITH ACCOUNT OF PLASTIC DEFORMATIONS OF CONCRETE IN THE TENSION AREA
Abstract and keywords
Abstract (English):
At the standard calculation of the cracking moment for bending reinforced concrete elements the plasticity coefficient γ is normally used, which according to SP 63.13330.2012 is 35% less than in the old SNiP 2.03.01-84*. The question arises, what is the reason for such a noticeable difference and which of the methods gives more reliable results? This article seeks to answer this question. For this purpose the physical meaning of the coefficient γ was considered in detail, with the usage of a nonlinear deformation model of a normal section. A calculation formula for γ depending on an element’s reinforcement degree was obtained, which is valid for conventional concrete of B15-B35 class. A comparison of the calculated cracking moment according to the proposed method with experiments by the other authors was carried out. A good agreement of results was observed.

Keywords:
reinforced concrete, cracking moment, plasticity coefficient, plastic moment of resistance
Text
Publication text (PDF): Read Download

Введение. Для момента трещинообразования изгибаемых железобетонных элементов в отечественной научно-технической и нормативной литературе известна формула:

 

,                        (1)

 

где  – нормативная прочность бетона при растяжении;  – упругопластический момент сопротивления сечения, равный

 

,                               (2)

 

где  – упругий момент сопротивления приведённого сечения; γ – коэффициент пластичности.

Впервые она была предложена в работе [1] и после вошла в российские Нормы по проектированию железобетонных конструкций. Однако значение коэффициента γ для прямоугольных сечений в СНиП 2.03.01-84* было принято равным 1,75, а в актуализированном СП 63.13330.2012 – равно 1,3. Разница в значениях составляет почти 35 %. В связи с этим возникает вопрос: по какой методике считать? какая из них даёт более близкие к эксперименту результаты?

При этом стоит заметить, что в евпропейских нормах, как описано в [2], такого понятия как «расчёт на образование трещин» нет, а для фигуруриюущего в расчётах деформаций момента появления трещин не приведено никакого математического выражения. В руководстве к Еврокоду 2 [3] этот момент предлагается определять приближенно, как для упругого тела, причём рассматривая только бетонное сечение и исключая арматуру (в таком случае коэффициент γ=1,0). Такой же подход принят и в американской научно-технической и нормативной литературе [4].

Методология. К ответу на поставленный выше вопрос подойдём двояко:

1 – теоретически: произведём аналитический разбор формул (1) и (2) с использованием общих принципов сопротивления материалов и механики железобетона;

2 – практически: выполним сравнение результатов расчёта по двум методикам с известными в научной литературе опытными данными для .

Основная часть. Расчёт упругого момента сопротивления приведённого сечения –  – одинаков в обеих методиках и основывается на известных выражениях сопротивления однонаправленных композитов. При выводе формулы упругопластического момента сопротивления сечения –  – могут быть нюансы, поскольку напрямую этот параметр в методиках не вычисляется. Поэтому для получения расчётного выражения  за основу примем допущения методики СНиП 2.03.01-84* и рассмотрим рис. 1, на котором показаны схема усилий, напряжений и деформаций для бетонного и железобетонного сечений, находящихся в стадии Iа НДС. Вначале выполним анализ для неармированного сечения. Для этого запишем два уравнения равновесия (принимая ), одно совместности деформаций и два физических соотношения соответственно:

                   (3)

                          (4)

                                (5)

                            (6)

                    (7)

 

 

Рис. 1. Схемы усилий, напряжений и деформаций бетонного сечения (а) и железобетонного (б); диаграмма

деформирования бетона в растянутой зоне (в): 1 – эпюра нормальных напряжений в растянутой зоне бетона

по СНиП 2.03.01-84*; 2 – то же по СП 63.13330.2012

 

 

При этом выражение (5) получается из подобия соответствующих геометрических
фигур – треугольников – на эпюре деформаций. Необходимо также записать дополнительное физическое соотношения для растянутого бетона в конце стадии
I:

 

                        (8)

 

Переходя от усилий к напряжениям в формуле (3), получим:

 

             (9)

 

Для дальнейших рассуждений примем следующее выражение, характеризующее диаграмму деформирования рис. 1, в:

 

,                        (10)

 

где k – некий коэффициент, который, как показывает анализ расчётных предпосылок СНиП 2.03.01-84*, может быть принят равным 2. Его введение позволяет в дальнейших расчётах использовать только нормируемый модуль  и исключить секущий .

Из условия (5) вытекает , а из (8): . В рассматриваемой методике присутствует ещё одно допущение: . Поставляя полученные выражения в (6), будем иметь:

 

                             (11)

 

Подставляя (11) в (9), придём к следующему выражению: . Сокращая и приводя подобные, получим:

 

   (12)

 

где  – упругий момент сопротивления бетонного сечения, а выражение в скобках – есть коэффициент пластических деформаций:

                        (13)

В случае k=2:  и , что соответствует ранее полученной Гвоздевым А.А. формуле.

Стоит отметить, что значение  в формуле (13) (т.е. если не учитывать пластические деформации) достигается при k=0,5, что некорректно с точки зрения физического смысла этого коэффициента, поскольку в этом случае предельные деформации  должны совпадать с упругими , т.е. должно быть k=1. Однако, к такому результату привели изначальные предпосылки методики, упрощающие расчёт.

Сравнительный анализ методик двух Нормативов показывает, что их расчётные предпосылки несколько отличаются. Так, в отличии от «старого» СНиПа в актуализированном СП:

1 – эпюра напряжений в растянутой зоне не прямоугольная, а трапециевидная;

2 – коэффициент  (в СП 63.13330.2012 для двухлинейной диаграммы используется обозначение  вместо );

3 – модуль деформации бетона при растяжении не равен модулю при сжатии –  
(  в зависимости от класса бетона).

Уточнение первой предпосылки повлияет на выражение (9), которое примет вид:

 

 

.

 

 

Упрощая и подставляя , получим:

        (14)

По аналогии с предыдущим использовать далее формулу (11), подставляя её в (14), не позволяет предпосылка . Поэтому формула (11) должна быть изменена следующим образом:

 

,            (15)

 

где  – коэффициент, зависящий от класса бетона (для бетонов обычных классов ; например, для В3,5, В20 и В60 соответственно

, , ).

Подставляя (15) в (14), будем иметь:

 

                          (16)

 

 

В этом случае коэффициент пластических деформаций равен:

                    (17)

Таким образом, при k=1,875 и  получим , что не соответствует принятому в актуализированном СП . Видимо, значение этого коэффициента взято по каким-то иным соображениям, т.е. вопреки теоретическим предпосылкам, заложенным в методику. Отметим, что если принять , то по формуле (17) . А если при этом взять k=2, то , что хорошо согласуется с результатами формулы (13) – разница всего 3,7%.

Также стоит отметить, что значение γ=1,0 в формуле (17) (т.е. если не учитывать пластические деформации) достигается при k=0,732…0,934, что, как и в предыдущем случае для формулы (13) некорректно с точки зрения физического смысла этого коэффициента. Однако, если принять , т.е. , то получим k=1. Тогда методика становится логически непротиворечивой.

Рассуждая совершенно аналогично для армированного элемента (рис. 1, б) придём к следующей формуле для приведённого момента трещинообразования:

 

                          (18)

 

 

где выражение во внешних скобках – есть упруго-пластический момент сопротивления приведённого сечения – . Известное выражение для упругого момента сопротивления приведённого сечения:

 

 

                             (19)

 

 

позволяет вычислить коэффициент пластических деформаций:

                                           (20)

Если подставить выражения для  и  в (20), то получится довольно громоздкая формула, которую приводить не будем, но результаты расчёта по ней представим в табличной форме ниже (табл. 1, значения вне скобок). При этом рассмотрены изгибаемые железобетонные элементы только с одиночным армированием в растянутой зоне – стержнями из арматуры, имеющей модуль деформаций равный 200000 МПа.

 

Таблица 1

Результаты расчёта коэффициента γ

 

Коэффициент армирования μ×100 %

Класс бетона В, МПа

В15

В20

В25

В30

В35

В40

В45

В50

В55

В60

0,1

1,760

(1,617)

1,759

(1,607)

1,758

(1,599)

1,757

(1,590)

1,757

(1,581)

1,757

(1,575)

1,756

(1,569)

1,756

(1,561)

1,756

(1,555)

1,756

(1,549)

0,5

1,793

(1,738)

1,788

(1,710)

1,785

(1,691)

1,783

(1,672)

1,781

(1,657)

1,780

(1,646)

1,779

(1,636)

1,778

(1,624)

1,778

(1,615)

1,777

(1,606)

1

1,825

(1,857)

1,818

(1,814)

1,813

(1,786)

1,809

(1,759)

1,806

(1,736)

1,804

(1,721)

1,803

(1,708)

1,802

(1,691)

1,801

(1,679)

1,800

(1,668)

3

1,900

(2,133)

1,890

(2,072)

1,884

(2,029)

1,878

(1,987)

1,874

(1,951)

1,871

(1,927)

1,869

(1,905)

1,867

(1,879)

1,865

(1,859)

1,864

(1,842)

5

1,936

(2,258)

1,927

(2,201)

1,921

(2,157)

1,915

(2,112)

1,911

(2,073)

1,908

(2,045)

1,906

(2,020)

1,904

(1,990)

1,902

(1,967)

1,901

(1,947)

10

1,971

(2,353)

1,965

(2,324)

1,962

(2,291)

1,958

(2,253)

1,955

(2,215)

1,952

(2,189)

1,951

(2,163)

1,949

(2,130)

1,948

(2,105)

1,947

(2,082)

 

Кроме того, в табл. 1 в скобках приведены значения γ, вычисленные по диаграммной методике [5, 6].

По полученным данным можно сделать следующие выводы:

– для рассмотренных железобетонных элементов коэффициент пластических деформаций получился больше, чем для бетонных – до 12,6 %
( );

– такой не учёт влияния арматуры на пластические деформации растянутого бетона в Нормах занижает значение момента трещинообразования и, как следствие, в некоторых случаях должен приводить к заметному перерасходу материалов;

– с увеличением класса бетона по прочности коэффициент γ уменьшается, но незначительно, оставаясь практически постоянным, поэтому за расчётное значение этого коэффициента можно принять величину, соответствующую максимальному нормируемому классу бетона (для рассмотренных элементов – В60);

– с увеличением процента армирования от
0,1 % до 10 % коэффициент γ увеличивается
до 1
2,0 %;

– диаграммная методика [5, 6] отличается по γ от предложенных формул (19,20) на
+19,4...-12,3 %, что зависит от класса бетона и
коэффициента армирования;

– несмотря на заметное различие в значениях γ в обоих подходах неизменно сохраняется общая для них тенденция: с увеличением класса бетона γ несколько понижается, а с увеличением процента армирования – γ растёт, причём существенно.

На основе полученных теоретических результатов и с учётом выполненного сравнения с экспериментами для уточнения значения коэффициента γ предлагается следующая зависимость:

 

      (21)

 

При этом  только при .

Перейдём к практической части работы: сравнению полученных теоретических результатов с экспериментальными данными. Сравнение представлено в таблице 2.

 

 

 

Таблица 2

Сравнение теоретических и экспериментальных данных Mcrc, кН·м

 

Источник

Шифр балки

и сечение

Бетон

Арматура

Схема армирования

, кН·м

, кН·м

 по ф. (21)

Пирадов К.А. [7]

1БН-9в

100×75мм

В25,

Rbt,ser=2,12 МПа,

Eb=26500 МПа

А-III (А400), Es=200000 МПа

1Ø8, аs=25 мм,

0,27

( )

0,366

0,492

0,484

( )

2БН-3в

100×75мм

2Ø8, аs=25 мм,

0,27

( )

0,386

0,520

0,501

( )

3БН-5в

100×75мм

2Ø10, аs=25 мм,

0,54

( )

0,408

0,549

0,523

( )

Ватагин С.С. [8]

БО-I-3а

200×102мм

В45,

Rbt,ser=2,50 МПа,

Eb=34200 МПа

А-III (А400), Es=208000 МПа

2Ø25, аs=38 мм,

2,162

( )

3,242

4,364

4,103

( )

БО-I-3б

201×100мм

2Ø25, аs=34 мм,

3,192

( )

3,355

4,517

4,103

( )

БС-I-

202×103мм

А-III (А400), Es=201000 МПа

2Ø12+2Ø12,

аs=18 мм, а's=30 мм,

3,026

( )

2,805

3,776

3,659

( )

БС-I-

201×125мм

2Ø12+2Ø12,

аs=22 мм, а's=24 мм,

3,585

( )

3,255

4,382

4,271

( )

БО-II-

201×101мм

В55,

Rbt,ser=2,51 МПа, Eb=37500 МПа

А-III (А400), Es=203000 МПа

4Ø14, аs=47 мм,

2,203

( )

2,687

3,617

3,426

( )

БО-II-

201×101мм

4Ø14, аs=42 мм,

2,407

( )

2,764

3,721

3,524

( )

БО-II-

202×100мм

А-III (А400), Es=203000 МПа

1Ø28, аs=32 мм,

2,367

( )

2,944

3,963

3,753

( )

БО-II-

201×99мм

1Ø28, аs=40 мм,

2,040

( )

2,757

3,705

3,508

( )

БО-II-

200×102мм

А-III (А400), Es=201000 МПа

6Ø12, аs=37 мм,

2,530

( )

2,895

3,897

3,685

( )

БО-II-

202×104мм

6Ø12, аs=43 мм,

2,079

( )

2,890

3,890

3,680

( )

БО-III-

205×105мм

В90,

Rbt,ser=2,78 МПа,

Eb=40700 МПа

А-III (А400), Es=201000 МПа

1Ø12, аs=29 мм,

2,383

( )

2,813

3,786

3,760

( )

БО-III-

200×100мм

1Ø12, аs=24 мм,

2,360

( )

2,576

3,468

3,434

( )

Тошин Д.С. [9]

Б-1

204×120мм

В22,5,

Rbt,ser=1,5 МПа, Eb=28500 МПа

А-III (А400), Es=205000 МПа

2Ø8, аs=25 мм,

2,735

( )

1,740

2,343

2,351

( )

Б-2

202×118мм

2Ø8+2Ø8,

аs=25 мм, а's=25 мм,

2,169

( )

1,726

2,324

2,329

( )

Б-3

202×120мм

2Ø12+2Ø8,

аs=25 мм, а's=25 мм,

2,574

( )

1,899

2,556

2,488

( )

Нугужинов Ж.С. [10]

Б-31-1A

273×151мм

В32,5,

Rbt,ser=1,807 МПа,

Eb=24700 МПа

А-IV600), Es=212000 МПа

2Ø12+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

8,5 (7,72)*

( )

5,0

6,731

6,674

( )

Б-31-IБ

275×148мм

В32,5, Rbt,ser=1,807 МПа,

Eb=24700 МПа

А-IV600), Es=195000 МПа

2Ø12+2Ø6,

 аs=30 мм, а's=30 мм,

8,5 (7,64)*

( )

4,935

6,643

6,583

( )

Б-31-2A

275×150мм

В32,5, Rbt,ser=1,938 МПа,

Eb=24200 МПа

А-IV600), Es=194000 МПа

2Ø12+2Ø6,

аs=20 мм, а's=20 мм,

8,5 (7,8)*

( )

5,387

7,252

7,19

( )

Б-31-2Б

281×148мм

В32,5, Rbt,ser=1,938 МПа, Eb=24200 МПа

А-IV600), Es=208000 МПа

2Ø12+2Ø6,

 аs=30 мм, а's=30 мм,

8,5 (7,63)*

( )

5,574

7,503

7,442

( )

Б-31-3А

281×150мм

В32,5, Rbt,ser=2,014 МПа, Eb=24500 МПа

А-IV600), Es=191000 МПа

2Ø12+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

8,5 (7,6)*

( )

5,797

7,804

7,744

( )

Б-31-3Б

275×150мм

В32,5, Rbt,ser=2,014 МПа, Eb=24500 МПа

А-IV600), Es=192000 МПа

2Ø12+2Ø6,

 аs=30 мм, а's=30 мм,

8,5 (7,68)*

( )

5,496

7,398

7,335

( )

Б-32-1А

273×150мм

В35, Rbt,ser=2,115 МПа, Eb=30800 МПа

А-IV600), Es=205000 МПа

2Ø18+2Ø6,

 аs=20 мм, а's=20 мм,

9,25 (7,85)*

( )

6,468

8,707

8,407

( )

Б-32-1Б

275×149мм

В35, Rbt,ser=2,115 МПа, Eb=30800 МПа

А-IV600), Es=198000 МПа

2Ø18+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

9,25 (7,8)*

( )

6,280

8,454

8,140

( )

Б-32-2А

276×150мм

В35, Rbt,ser=2,24 МПа, Eb=30800 МПа

А-IV600), Es=215000 МПа

2Ø18+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

9,25 (8)*

( )

6,836

9,202

8,863

( )

Б-32-2Б

277×148мм

В35, Rbt,ser=2,24 МПа, Eb=30800 МПа

А-IV600), Es=206000 МПа

2Ø18+2Ø6,

 аs=30 мм, а's=30 мм,

9,25 (8,12)*

( )

6,754

9,093

8,756

( )

Б-32-3А

280×150мм

В35, Rbt,ser=2,23 МПа, Eb=32000 МПа

А-IV600), Es=203000 МПа

2Ø18+2Ø6,

аs=20 мм, а's=20 мм,

9,25 (8,39)*

( )

7,08

9,531

9,183

( )

Б-32-3Б

283×148мм

В35, Rbt,ser=2,23 МПа, Eb=32000 МПа

А-IV600), Es=199000 МПа

2Ø18+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

9,25 (7,8)*

( )

6,916

9,310

8,97

( )

Б-81-1А

284×153мм

В100, Rbt,ser=3,762 МПа, Eb=38200 МПа

А-IV600), Es=194000 МПа

3Ø12+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

13,75 (10,26)*

( )

11,189

15,062

14,673

( )

Б-81-1Б

285×150мм

В100, Rbt,ser=3,762 МПа, Eb=38200 МПа

А-IV600), Es=207000 МПа

3Ø12+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

13 (10,26)*

( )

11,143

15

14,605

( )

Б-81-2А

283×152мм

В100, Rbt,ser=3,868 МПа, Eb=41000 МПа

А-IV600), Es=197000 МПа

3Ø12+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

13 (9,52)*

( )

11,294

15,203

14,805

( )

Б-81-2Б

287×151мм

В100, Rbt,ser=3,868 МПа, Eb=41000 МПа

А-IV600), Es=196000 МПа

3Ø12+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

13,75 (9,52)*

( )

11,532

15,524

15,122

( )

Б-81-3А

284×154мм

В100, Rbt,ser=3,811 МПа, Eb=42700 МПа

А-IV600), Es=207000 МПа

3Ø12+2Ø6,

аs=20 мм, а's=20 мм,

15,25 (9,86)*

( )

11,529

15,519

15,121

( )

Б-81-3Б

283×151мм

В100, Rbt,ser=3,811 МПа, Eb=42700 МПа

А-IV600), Es=196000 МПа

3Ø12+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

13,75 (9,86)*

( )

11,013

14,825

14,435

( )

Б-82-1А

276×151мм

В100, Rbt,ser=3,771 МПа, Eb=39200 МПа

А-IV600), Es=199000 МПа

(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм,

13,75 (12,6)*

( )

11,644

15,674

14,980

( )

Б-82-1Б

280×140мм

В100, Rbt,ser=3,771 МПа, Eb=39200 МПа

А-IV600), Es=197000 МПа

(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм,

13,75 (12,6)*

( )

11,238

15,128

14,439

( )

Б-82-2А

279×150мм

В100, Rbt,ser=3,837 МПа, Eb=36800 МПа

А-IV600), Es=208000 МПа

(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм,

13 (12,2)*

12,289

16,543

15,812

( )

Б-82-2Б

278×152мм

В100, Rbt,ser=3,874 МПа, Eb=36800 МПа

А-IV600), Es=197000 МПа

(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

13 (11)*

( )

12,306

16,565

15,837

( )

Б-82-3А

279×152мм

В100, Rbt,ser=3,774 МПа, Eb=35800 МПа

А-IV600), Es=196000 МПа

(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм,

13,75 (12,2)*

( )

12,136

16,337

15,620

( )

Б-82-3Б

275×148мм

В100, Rbt,ser=3,774 МПа, Eb=35800 МПа

А-IV600), Es=190000 МПа

(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6,

аs=30 мм, а's=30 мм,

13,75 (12,4)*

( )

11,559

15,561

14,864

( )

Уманский А.М.

[11]

НсМ-1

100×100

В40, Rbt,ser=2,36 МПа, Eb=33152 МПа

А-III (А400), Es=213000 МПа

2Ø8, аs=20 мм,

0,658

( )

0,565

0,761

0,739

( )

Шарафутдинов Л.А

 [12]

Б-2

220×120

В25, Rbt,ser=2,074 МПа, Eb=30000 МПа

А400, Es=200000 МПа

2Ø10, аs=30 мм,

«-» (3,380)*

( )

2,847

3,932

3,778

( )

Arivalagan. S.

 [13]

NWC

150×150

В25, Rbt,ser=2,187 МПа, Eb=30000 МПа

А400, Es=200000 МПа

2Ø12, аs=16 мм,

«-» (2,500)*

( )

1,846

2,547

2,475

( )

 

Примечания:

1 – * – Вне скобок даны значения моментов трещинообразования, установленных визуально; в скобках – значения моментов, определенных по перелому графика зависимости момента от кривизны.

2 – Серым цветом закрашены ячейки таблицы, в которых приведены значения теоретических моментов, наилучшим образом соответствующие эксперименту.

3 –  – коэффициент пластичности, полученный сравнением экспериментального значения момента трещинообразования с упругим расчётом по формуле .

4 – В некоторых строках не закрашена ни одна ячейка, т.к. , поэтому данные эксперимента в строке не могут быть использованы для сравнения.

 

 

Выводы:

1 – в целом близкие к эксперименту показали результаты расчёта по предложенной формуле (21), за исключением случаев с высокопрочным бетоном, где может быть применён подход
СП 16.13330.2012;

2 – такое существенное влияние прочности бетона на результат противоречит ранее полученным теоретическим выводам (см. анализ таблицы 1) и должно быть учтено в формуле для  после дополнительного более обстоятельного и масштабного изучения экспериментальных данных (поэтому область применения формулы (21) ограничена пока обычными бетонами В15-В35);

3 – таким образом, для бетонов классов В35-В100 на данном этапе исследований можно рекомендовать подход СП 16.13330.2012;

4 – подход СНиП 2.03.01-84* является частным случаем предложенной формулы (21) и не учитывает влияние не только прочности бетона, но и наличие арматуры в сечении, поэтому при сравнении с экспериментом даёт погрешность от +64 % до –17 %;

5 – экспериментально установлена роль арматуры при определении γ, которая опровергает ранее выявленную теоретически закономерность (см. анализ результатов табл. 1): с увеличением процента армирования от 0,4 % до 3,1 % коэффициент  не растёт, а падает, причём
значительно – в 1,9 раза. Это обстоятельство требует проведения дополнительных исследований.

Источник финансирования. Программа фундаментальных научных исследований (ФНИ) Минстроя России и РААСН в области архитектуры, градостроительства и строительных наук на 2018 год.

References

1. Gvozdev A.A., Dmitriev S.A. To the calculation of prestressed reinforced concrete and a ceramic stage for the formation of the train // Concrete and reinforced concrete, 1957, no. 5, pp. 205-211.

2. Almasov V.O. Design of reinforced concrete structures in accordance with European standards. Moscow: LitRes, 2016, 217 p.

3. Bibi E.V., Narojan R.S. Leadership for the project to Brocade 2: design of concrete structures. Moscow: MGSU, 2013, 292 p.

4. Tyler G. Hicks. Civil engineering formulas, 3d ed. New-York: McGRAW-HILL, 2016, 472 p.

5. Karpenko N.I., Sokolov B.S., Radaikin O.V. Improvement of the calculating method of the the cracking moment of reinforced concrete bending elements without prestressing // Stroitel'nye Materialy, 2013, no. 6, pp. 54-55.

6. Karpenko N.I., Radaikin O.V. The improvement of the stress-strain diagram of concrete to determine the moment of cracking and damaging moment in bending reinforced concrete element // Construction and reconstruction, 2012, no. 3 (41), pp. 10-17.

7. Piradov K.A. Theoretical and experimental foundations of concrete and reinforced concrete fracture mechanics. Tbilisi, 1998, 355 p.

8. Vatagin S.S. The relation between stress and deformation of concrete in the sitting area of the reinforced concrete elements. Integral assessment of the work of the sprawling concrete. Thesis of technical Sciences. Kyiv: NIICK, 1986, 134 p.

9. Toshin D.S. Nonlinear calculation of deformations of bent reinforced concrete elements during unloading with the use of deformation model. Thesis of technical Sciences. Togliatti, 2009, 132 p.

10. Noginov J.S. Deformation and crack widths of reinforced concrete bending elements when not repeatedly re-loadings. Thesis of technical Sciences. Moscow: NIIZHB, 1986, 197 p.

11. Umansky M.A. Improvement of methods of calculation of structures of marine hydraulic structures of composition using basalt rebar. Thesis of technical Sciences. Vladivostok: Far-Eastern Federal University (FEFU), 201, 173 p.

12. Sharafutdinov L.A. Improved methods of calculating the gain of bendable concrete elements with steel fiber concrete with the use of nonlinear deformation models. Master's thesis. Kazan: Kazan state University of architecture and civil engineering, 2017, 156 p.

13. Arivalagan S. Flexural Behaviour of Reinforced Concrete Beam Containing Steel Slag as Coarse Aggregate // International Journal of Structural and Civil Engineering, 2012, vol. 1, issue 1, pp. 1-10.


Login or Create
* Forgot password?