Введение. Важное место в различных областях техники занимают стеклопластики. Вопросы применения их в различных областях современной техники широко освещены в работе [1]. Их принципиальные возможности выше чем у традиционных материалов, благодаря специфическим качествам, прежде всего благодаря возможности варьировать свойства материала за счет различной структуры.

Однако, дороговизна компонентов, составляющих композицию, сдерживает широкое применение композиционных материалов. Поэтому актуальными являются вопросы оптимального проектирования конструкций из композитного материала. Обзор работ данного направления приведен в работах [2], [3], [4].

Постановка задачи оптимизации. Рассматривается задача весовой оптимизации стеклопластиковой многослойной круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной поперечными ребрами, с некоторой погибью между ребрами, с клеевой прослойкой между ребром и оболочкой работающей в условиях внешнего давления и удовлетворяющей условиям прочности, устойчивости и расслаивания. В силу нелинейности функций ограничения она формулируется как задача нелинейного программирования.

В математической формулировке задача оптимального проектирования оболочки имеет вид:

G (x)→min;

 x є c=x|φ(x)≥0; χ(x)≥0; ψj(x)≥0; |j=1,2….Μ                                  (1)

где G (x) – целевая функция (вес оболочки);
φ(x)  – обозначает совокупность всех геометрических ограничений;  χ(x)  – совокупность структурных ограничений;  ψj(x)  – семейство физических ограничений (предельных ограничений);
 Μ  – количество физических ограничений.

Целевая функция определяется выражением:

G(x)=2πL i=1khiρiRi +2πR-h-hp2  h_p b_p ρ_p N                                            (2)

где L – длина оболочки;  k -количество однонаправленных слоев;  hi  – толщина i -го слоя;  ρi  –плотность материала i -го слоя;  Ri  - радиус срединной поверхности i -го слоя;  R  – радиус наружной поверхности оболочки;  h  – высота ребра; b_p – ширина ребра;  ρ_p – плотность материала ребра;  N – количество поперечных ребер.

Вектор оптимизируемых параметров имеет вид:

 x=N, hp,bp,hi,βi,f0                      (3)

где βi  – угол намотки однонаправленного i -го слоя;  f0 –  начальная погибь оболочки между ребрами.

Геометрические ограничения наложены на расстояние между ребрами из условия обеспечения местной устойчивости оболочки, на высоту, ширину ребра и начальную погибь, определяемые конструктивными и эксплуатационными требованиями.

Структурные ограничения установлены для углов армирования исходя из возможностей технологии намотки.

Физические ограничения учитывают предъявляемые к проекту требования прочности, устойчивости и расслаивания.

Для определения деформативных свойств композиционного материала используется микромеханический, детерминированный подход. При этом механические характеристики композиции армированной среды выражаются через механические характеристики связующего и армирующего элементов и через коэффициент армирования. Упругие характеристики ортотропного элементарного слоя определяем по известным формулам теории армирования, полученным В.В. Болотиным[5].

Для оценки прочности каждого слоя принят критерий Мизеса-Хилла [6] для ортотропного слоя. Разрушение слоев не допускается. Условие прочности имеет вид:

1-σ12F12-σ1σ2F12+σ22F22+τ122F122≥0         (4)

где σ1,σ2 , τ12  – компоненты напряжений в осях слоя; F1,F2,F12  – соответствующие пределы прочности.

Для решения задачи используется статический критерий устойчивости.

Ограничение по устойчивости принято в виде:

 q_{кр /} q – 1 ≥ 0                           (5)

где q_кр, q – критическая и эксплуатационная нагрузки.

Разрушение композита от расслаивания происходит от максимальных касательных напряжений, действующих в плоскости, перпендикулярной плоскости армирования вследствие разрушения связующего. Для последнего принимается условие прочности П.П. Баландина [7].

 Fcсв Fрсв3 /ταβ- 1 ≥ 0                 (6)

где Fcсв Fрсв – пределы прочности связующего на сжатие и растяжение; ταβ  – касательные напряжения в поперечном сечении.

Напряжённое состояние круговых цилиндрических оболочек, равномерно подкреплённых ребрами и нагруженных гидростатическим давлением. Рассматривается многослойная цилиндрическая оболочка кругового очертания, постоянной общей толщины h, собранная из произвольного числа ортотропных слоев h_i, различных по толщине в пакете слоев с модулями упругости E_α, E_β соответственно в продольном и кольцевом направлениях. Исследования напряженно-деформированного состояния слоистых оболочек выполнены в работах [8], [9]. Вопросам расчета подкрепленных оболочек посвящены работы [10], [11]. В нашем случае оболочка равномерно подкреплена поперечными ребрами прямоугольного сечения с модулями упругости E_p и имеет погибь ʄ_0. Задача решается на основе частично уточненной (итерационной) теории С.А. Амбарцумяна [12]. Модуль сдвига для пакета в целом определяется следующим соотношением:

Gar =  Gαri*hih                            (7)

где Gαri , hi  – модуль поперечного сдвига и толщина слоя соответственно.

Деформация поперечного сдвига для пакета в целом определяется такой зависимостью:

 eαr=12Gαr(h24-g2)j                  (8)

гдеj – функция поперечного сдвига.

Для конструктивного прогиба оболочки между ребрами принято следующее выражение:

ω 0=-4α*ʄ0d2(d-α)                    (9)

где d – расстояние между ребрами, ʄ₀ – стрела подъема.

Синтезирующее уравнение осесимметричной деформации приводится к виду:

 Аd4ωdα4+Bd2ωdα2+Cω=D            (10)

где A, B, C, D – постоянные коэффициенты.

Коэффициент D включает начальную погибь ʄ₀.

Общий интеграл синтезирующего уравнения включает в себя четыре произвольные постоянные, для определения которых используются граничные условия опирания оболочки на ребро в середине оболочки. Здесь можно считать, что все участки оболочки между ребрами находятся в одинаковых условиях. Поэтому, для одного участка оболочки получаем такие условия опирания ребра:

при a = 0; dωdα=0; ωоб=ωρ                              (11) приa = a/2;dωdα=0; Qαr=0 .

После определения произвольных постоянных, находим w. В дальнейшем определяем напряжения σα  и σβ .

В данной работе выполнены исследования влияния на напряженно-деформированное состояние и прочность оболочки учёта поперечного сдвига и членов порядка h/R по сравнению с единицей. Определена структура пакета слоев, обеспечивающая максимум прочности по критерию Мизеса-Хилла. Проведены исследования влияния конструктивного прогиба между ребрами на напряженно-деформированное состояние и прочность оболочки. Расчеты проведены для подкрепленных одно-, двух- и трехслойных оболочек со следующими характеристиками:

- длина оболочки L = 3000 мм;

- радиусR  = 400 мм;

- толщина стенки оболочкиh = 18 мм;

- число реберN = 4;

- высота ребра hp = 40 мм;

- ширина ребра b_p= 10 мм.

Как отмечено выше, для определения деформативных свойств композиционного материала используется микромеханический, детерминированный подход. Физические характеристики компонентов композиции, материала ребра и коэффициент армирования приняты следующие:

 -модуль упругости стекловолокна
E^'= 70000 МПа;

 -модуль упругости связующего
E^" = 4000 МПа;

 -коэффициент Пуассона стекловолокна ν^' = 0,2;

 -коэффициент Пуассона связующего ν" = 0,4;

 -модуль сдвига стекловолокна
G^' = 30000 МПа;

 -модуль сдвига связующего G^'' = 15000 МПа;

 -объемный коэффициент армирования μ = 0,7.

Характеристики материала ребра приняты следующие:

 -модуль упругости E_р = 35000 МПа;

 -модуль сдвига G_р = 6000 МПа.

Прочностные характеристики материала слоя взяты следующие:

 -пределы прочностиF1=200 Мпа,F2=150 Мпа,F12 = 70 МПа.

Модули поперечного сдвига приняты G₁₃ =G₂₃= 5000 МПа.

Исследования показали, что учет в расчетах членов порядка h/R практически не сказывается на напряжениях, но отличия в напряжениях для уточненной и классической теорий значительны. Так отдельных случаях напряжения, подсчитанные по классической теории на 29 % ниже полученных по частично уточненной теории. Учет сдвига приводит к повышению напряжений σα  на 12 %.

Исследования напряжений σβ  и перемещений ω  показали, что они практически не меняются при учете членовпорядка h/R. Также не сказывается на величинах σβ  и ω  учет поперечного сдвига по частично уточненной теории. Что касается значений критерия прочности по Мизесу-Хиллу, то они меняются в основном за счет напряжений σα.  

Исследование структуры пакета слоев оболочки, обеспечивающего максимум прочности по критерию Мизеса-Хилла, проводилось для подкрепленных одно-, двух- и трехслойных оболочек, полученных косой перекрестной намоткой. В исследованиях сохранялись общими длина оболочки L, радиус R  , толщина пакета слоев h, величина гидростатического давления q, механические характеристики компонентов, составляющих композицию, коэффициент армирования слоев. Варьировалось число слоев, углы ориентации арматуры в слоях. Комбинации армирования слоев выполнялись для углов армирования от 0º до 90º с шагом 15º. Кольцевому армированию соответствовало 0º, продольному 90º. Наивысшая прочность оболочки достигается при углах армирования 0º-9º.Однако, использование этих углов нецелесообразно, т.к. изделие, полученное кольцевой или близкой к ней намоткой может разрушиться от растрескивания связующего вследствие эффекта Пуассона. Поэтому, при проектировании слоистых оболочек, слои с кольцевым армированием следует располагать с внутренней стороны оболочки, а наружные слои выполнять перекрестной намоткой.

 Рассмотрены участки оболочки, примыкающие к ребрам и расположенные между ними. Наиболее нагруженными являются участки между ребрами. Здесь значение критерия прочности на 20 %-30 % выше чем в месте примыкания к ребру. Во всех случаях прочность определяется участком оболочки, расположенным посредине между ребрами. Это обстоятельство вызывает необходимость конструирования круговых цилиндрических оболочек с некоторой погибью между ребрами. Исследования показали, что использование конструктивной погиби дает существенные, до 20 % дополнительные резервы прочности.

Устойчивость стеклопластиковых оболочек, подкрепленных поперечными ребрами с учетом клеевой прослойки между ребром и оболочкой. Рассматривается задача статической устойчивости цилиндрической, ортотропной, многослойной стеклопластиковой оболочки, подкрепленной поперечными ребрами, с клеевой прослойкой между ребрами и оболочкой и работающей в условиях внешнего давления. Вопросам устойчивости слоистых оболочек, подкрепленных ребрами посвящены работы [13], [14, [15].

Для решения задачи устойчивости использовались уравнения, построенные на базе уточненной теории слоистых оболочек С.А. Амбарцумяна [12], но при этом учитывалась деформация сдвига в поперечном направлении и дополнительная работа ребер при потере устойчивости.

1. В месте соединения оболочки с ребром возникают касательные напряжения τ1 и τ2 , действующие в продольном и поперечном направлениях соответственно. Величины этих напряжений зависят не только от общих размеров оболочки и ребра, но и от толщины и сдвиговой жесткости слоя, соединяющего ребро с оболочкой. Касательные напряжения τ2  играют основную роль, т. к. действуют в направлении основной работы ребер при потере устойчивости.

С учетом действия τ2  деформации в поперечном сечении представим зависимостями:

а) в оболочке:

- в пределах ребра

 eyz=τ212-γh1G23+12h24- γ2Φ2α,β     (12)

-вне ребра

 eyz=12h24- γ2Φ2α,β                (13)

exz=12h24- γ2Φ1α,β                (14)

б) в ребре:

 eyz=τ212+γphp1Gp+12hp24-γp2Φ2pβ    (15)

где G23  – приведенный модуль сдвига в поперечном направлении для всего пакета в целом; Gр  – модуль сдвига ребра; γ , γp  – координаты оболочки и ребра, отсчитываемые соответственно от срединной поверхности  оболочки и радиуса ребра; h,h p – толщина оболочки, высота ребра; Φ1,Φ2  – функции, подлежащие определению.

Для определения τ2  воспользуемся соотношением между интенсивностью сдвига и деформация-ми оболочки и ребра, установленными А.Р. Ржаницыным [16]:

∆∙ dτdβ ∙1Gc= eβ,cRc-eβ,cp∙Rc           (16)

где ∆ -толщина прослойки связующего между ребром и оболочкой; Rc  – радиус стыка;  Gc  – модуль сдвига прослойки.

Используя выражение для перемещений в оболочке в пределах ребра, выражение для перемещений ребра с учетом неразрывности перемещений между ребром и оболочкой, зависимость (16) и соотношения для деформаций оболочки в пределах ребра и деформаций ребра получим выражение для τ2  :

 τ2=Π1R∙∂ω∂β+Π2h28∙Φ2(α,β)            (17)

где Π1  , Π2  – коэффициенты, учитывающие влияние прослойки между ребром и оболочкой.

2. Выражения деформаций получим из соотношений теории упругости в криволинейных координатах между деформациями и перемещениями.

Для оболочки в пределах ребра они учитывают коэффициенты Π1  и Π2  , вне ребра при
Π1=Π2 = 0 они совпадают с выражениями, приведенными в работе С.А. Амбарцумяна [12].

Деформации кольца записаны с учетом сдвига и касательных напряжений в месте стыка, приΠ1=Π2  = Φ2  = 0  они переходят в обычные зависимости для кругового кольца.

3. Напряжения в произвольном слое i находим с помощью обобщенного закона Гука для ортотропного тела:

 σαi=B11ieα + B12ieβ ;τ αβi  =B66ieαβ;τβγiG23eβγ+τ212-γphp                               (18)

σβi=B12ieα+B22ieβ ;ταγi=G13ieαγ ; τβγi=Gpeβγp+τ212-γphp                             (19)

где

 B11i=E1i1-ν1iν2i;B12i=E1iν2i1-ν1iν2i=E2iν1i1-ν1iν2i                                                   (20)

 B22i=E2i1-ν1iν2i;B66i= G12i                                                         (21)

4. Внутренние усилия и моменты в оболочке и ребре имеют вид:

N1=1B-h2h2σα∙H2 d γ                                                       (22)

 N2=1B-h2h2σβ∙H1 d γ+1APσβPH1p d γp∙1a                                       (23)

S12=1B-h2h2ταβ∙H2 d γ ; S21=1A-h2h2ταβ∙H1 d γ                                         (24)

 H21=1A-h2h2ταβ∙γ H1 d γ ; M1=1B-h2h2σα∙H2 d γ                                      (25)

 M2=1A-h2h2σβ∙γH1 d γ+1aApFpσβpH1p d γ-Np2(h+hp)1a                               (26)

  Q1=1A-h2h2τβγH1 d γ+1A -h2h2τ2G2312-γhG23iH1 d γ∙bpa  +1Ap-h2h2τ2 (12-γpihp)H1pdγpbpa             (27)

 H12=1B-h2h2τaβ γ H2 d γ ;Q1=1B-h2h2τaγH2 d γ                                            (28)

После интегрирования в выражениях дляN2 , S12 , M2 , H21  слагаемые, связанные с Π1  и Π2  следует умножить на коэффициент bpa.   При составлении уравнений равновесия моментностью докритического состояния пренебрегаем, учитываем лишь мембранные усилия. Уравнения равновесия имеют вид:

 ∂N∂α+∂S21∂β-q∂2U∂β2-∂ω∂α+12∂2U∂α2=0                                                   (29)

 ∂N2∂β+∂S12∂α-Q2-q∂2υ∂β2+12∙∂2ν∂α2+∂ω∂β=0                                             (30)

 ∂Q1∂α+∂Q2∂β+N2+q12∙∂2ν∂α2+∂U∂α-∂ν∂β+ω=0                                          (31)

∂M1∂α+∂H21∂β=RQ1                                                                (32)

∂M2∂β+∂H12∂β= RQ2                                                                 (33)