Введение. В 1744 году французский ученый П. Мопертюи сформулировал принцип наименьшего действия, имеющий энергетическое содержание и ставший впоследствии общефизическим вариационным принципом стационарного действия.

Решающую роль в развитии принципа сыграл французский математик и механик Ж. Лагранж. Для деформируемого тела используется его вариационный принцип: в случае равновесия системы с двусторонними связями сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях равна нулю. При линейном физическом законе функционал системы равен по модулю функционалу потенциальной энергии деформации.

Классическая теория сооружений ориентирована в первую очередь на анализ напряженно-деформированного состояния (НДС). Однако наряду с этим развивалось направление синтеза систем. Решение обратных задач строительной механики не преследует цель достичь некоторого наилучшего (оптимального) решения. При заданных элементах НДС определяются лишь соответствующие форма тела и материал.

Стремление доставить рассматриваемой системе некоторое экстремальное свойство определяет оптимальное проектирование. Одной из первых задач такого рода была изопериметрическая задача при заданном объеме (поверхности) системы. В то же время оказалась возможной двойственная постановка задачи: минимизация объема (поверхности) при дополнительном условии с энергетическим содержанием (соответствие принципу стационарного действия). Появились теоремы Васютинского и выводы В. Прагера о взаимосвязи минимумов потенциальной энергии деформации и объема (поверхности) тела [1–5].

Всякое уклонение от рассмотренных установок оптимального проектирования приводит к вымыванию основ механики деформируемого твердого тела в угоду субъективным критериям [6–10].  Энергетическое начало обеспечивает выпуклость задачи и нацеленность на абсолютный экстремум функционала. Для этого достаточно исходному функционалу и функциям ограничений быть выпуклыми над векторами переменных проекта.

В настоящий момент методики структурной оптимизации можно классифицировать на две категории: оптимизация дискретных элементов, использующая элементы балки или фермы, и реализация оптимального континуума.

Внутри класса методик дискретных элементов для конструкционных систем предложен метод для стержневого варианта рамы, в котором переменные проекта представлены характеристиками поперечного сечения, включая главные оси инерции.

Теория графов использована для регулирования расположения опор в зависимости от траекторий нагрузки для стержневых систем. При оптимизации конструкции рамы в качестве проектного критерия находит использование максимальный по модулю изгибающий момент.

Ко второй категории  относится методика с использованием элементов континуума для определения оптимальной системы при статической и динамической нагрузках. Другая методика предложена для оптимизации топологии каркаса сооружения с позиций устойчивости его равновесия. Целевой функцией является критическая нагрузка, синхронная степени податливости системы.

Каждая из представленных методик важна сама по себе, что не исключает их рационального синтеза, то есть комбинирования идей дискретного и континуального проектирования. Интегрированный подход использован при оптимизации многоэтажного металлического каркаса. В основание положена континуальная сетка из четырехугольников и балочные элементы, а также критерий минимума потенциальной энергии деформации. Такого рода оптимизацию можно рассматривать как существенный шаг в процедуре инженерного комбинирования с современными проектными кодами, приемлемого для установления рациональных топологии, конфигурации и размеров элементов.

Таким образом, упомянутый выше принцип стационарного действия стал фундаментальным началом в новой стратегии оптимизации стержневых систем, в частности рам.

Методика.  Синтез стержневой системы может рассматриваться с позиций ее топологии, геометрии и параметров элементов [11–15]. Остановимся на системе из двух стержней с заданными топологией и геометрией. В качестве варьируемых параметров рассматриваются переменные по длинам стержней диаметры поперечных сечений, а также переменные по длинам стержней модули Юнга. В качестве дополнительных условий приняты перемещение и наибольшее по модулю напряжение.

В случае перемещения задача приобретает изопериметрический характер и имеет двойственную постановку. В случае напряжения дополнительное условие не является интегральной связью. В то же время решение задачи такого рода для консоли показало возможность двойственной ее постановки [16]. В обоих случаях при определении формы тела в качестве исходного функционала принимается объем материала.

В задаче синтеза системы с переменным модулем Юнга в качестве исходного функционала принимается интегральный модуль Юнга, имеющий размерность энергии.

Линеаризация процедуры оптимального проектирования, в том числе в конечно-элементной интерпретации, а также в связи с возможной физической  и геометрической нелинейностью, ведется по методу дополнительных нагрузок [17, 18].

Из условия стационарности обобщенного функционала, полученного с помощью множителей Лагранжа, вытекают специфические уравнения синтеза системы, играющие роль критерия оптимальности. Вместе с уравнениями из дополнительных условий они образуют систему, решение которой составляют варьируемые параметры.

Решение задачи синтеза завершается проверкой удовлетворения неучтенным ограничениям, в том числе условий прочности в случае дополнительных условий в виде перемещений. Возможно использование дискретного варьирования [19, 20].

Основная часть. Рамой (жесткой рамой) принято называть такую стержневую систему, у которой все или некоторые узловые соединения являются жесткими. Жесткий узел отличается тем, что угол между осями образующих его стержней остается постоянным при действии внешних сил. Это означает, что при деформировании рамы обе касательные к упругим линиям стержней поворачиваются на одинаковый угол.

В раме изгибающие моменты горизонтальных элементов оказываются, как правило, значительно меньше, чем в простой балке того же пролета, что приводит к более экономичным сечениям этих элементов. Конструктивное обеспечение достаточной жесткости осуществляется проще, чем достижение шарнирной подвижности.

Геометрическая неизменяемость рамы с жесткими узлами достигается при наличии гораздо меньшего числа стержней, чем неизменяемость шарнирно-стержневой системы. Указанные достоинства рам обеспечили им широкое применение в различных отраслях техники.

Как и в балочных системах, поперечные силы в элементах рамы оказывают незначительное влияние на ее напряженно-деформированное состояние. В целях упрощения расчета ими обычно пренебрегают. Учет продольных сил вызывает необходимость обеспечения устойчивости равновесия сжатых стержней и введения коэффициента устойчивости.

В так называемой линейной строительной механике, помимо принятия закона Гука, считается, что все деформации и перемещения весьма малы по сравнению с директивными размерами заданной системы. Возникающая неточность расчета оказывается ничтожной. Зато значительно упрощаются все расчеты, касающиеся подавляющего большинства систем.

Упрощение расчетной схемы рамы касается пренебрежения второстепенными факторами, относящимися как к схеме рамы, так и к приложенной нагрузке. Особое внимание уделяется регулированию опорных связей, что осуществляется на этапе формирования ее топологии.

Начало формы. Стержневая система нагружена силой F (рис. 1). При заданном модуле Юнга E, перемещении опоры A величиной u0 требуется определить диаметры поперечных  сечений d1(x1) на участке длиной l и d2(x2) на участке длиной h. 

Рис.1.  Стержневая система

На рис.1 показаны реакции  опор A и B. Потенциальную  энергию деформации поставим  в  зависимость от изгибающих моментов M(x) и продольной силы N:

J =0lM2(x1)dx12EI1(x1) + 0lN2dx12Eφ12A1(x1) +0hM2(x2)dx22EI2(x2) +0hN2dx22Eφ22A2(x2) ,                             (1)

где   A   и   I  –  площадь  и  момент  инерции   поперечного  сечения  стержня,  φ  –  коэффициент   устойчивости равновесия  стержня, который задается по нормам проектирования.

Перемещение точки A u=∂J∂F  представим в виде:

u=4FπE[16hl0lx12dx1d14(x1) + 0ldx1φ12d12(x1) + 160hx22dx2d24(x2) + hl 0hdx2φ22d22(x2)].                          (2)

При заданном перемещении u0 функционал объема имеет вид:

V=π4[0ld12x1dx1+ 0hd22x2dx2]+μ {4FπE[16hl0lx12dx1d14(x1) + 0ldx1φ12d12(x1) + 160hx22dx2d24(x2) +hl 0 hdx2φ22d22(x2)]- u0}.          (3)

Условие его стационарности выражается в виде равенства нулю его вариации:

δV=∂V∂d1(x1)δd1x1+∂V∂d2x2δd2x2+∂V∂μδμ=0.                                           (4)

Из условий ∂V∕∂d1(x1)=0,
∂V∕∂d2(x2)=0 вытекают уравнения:

π20ld1(x1)dx1-μ4FπE80hl0lx12dx1d15(x1)+30ldx1φ12d13x1=0,                                       (5)

пасс

  π20hd2(x2)dx2-μ4FπE800hx22dx2d25(x2)+3hlφ220hdx2d23x2=0.                                       (6)

пасс

Из условия ∂V/∂μ = 0 следует уравнение:

4FπE16hl0lx12dx1d14(x1)+0ldx1φ12d12(x1)+160hx22dx2d24(x2)+hφ22l0ldx2d22(x2)-u0=0.                      (7)

Для неизвестных d1x, d2x, μ получаем  систему    интегральных  уравнений (5) – (7). Для ее   решения можно использовать метод последовательных приближений.

Сохраним исходные данные  предыдущего  примера  за исключением  переменных d1 и d2, замененных  на переменные модули E1 и  E2. Закон  Гука  сохраняется, но меняет  свой  масштаб  от сечения к сечению. Такую композицию можно создать, например, на базе бетонов различных классов.

Формирование функционала ведем на основе  функции  интегрального модуля Юнга  с  размерностью энергии:            

E=π4[d120lE1x1dx1+d220hE2x2dx2]+μ{4Fπ16hl0lx12dx1d14E1x1+0ldx1φ12d12E1x1+160hx22dx2d24E2x2+                                                                                                          +hl0hdx2φ22d22E2x2 -u0}.                             (8)

Условие его стационарности представляем в виде:

δE=∂E∂E1x1δE1x+∂E∂E2x2δE2x+∂E∂μδμ=0.   (9)         

Из условия ∂E∕∂E1x1 вытекает уравнение:

1-μ16Fπ2d12l16hl0lx12dx1d14E12x1+0ldx1φ12d12E12x1=0.   (10)

Из условия ∂E∕∂E2x2 следует уравнение:

1-μ16Fπ2d22h160hx22dx2d24E22x2+hl0hdx2φ22d22E22x2=0. (11)

Из уравнений (10) и (11) получаем синтезирующее уравнение:

1d12l0l1d12E12(x1)16hlx12d12+1φ12dx1-1d22h0h1d22E22x216x22d22+hlφ22dx2=0.         (12)                                                                                                                                  

Из условия ∂E∂μ=0 вытекает уравнение:

                                       4Fπ0l1d12E1x116hx12ld12+1φ12dx1+0h1d22E2x2(16x22d22+hlφ22)dx2-u0=0.          (13)                                                              

Для неизвестных E1x1, E2x2, μ получаем систему интегральных уравнений (12), (13).

Сохраним исходные данные первого примера за исключением перемещения u0, замененного на наибольшее по модулю напряжение σ0. 

Заметим, что это условие не является интегральной связью. Но, как указано выше, решение задачи такого рода для консоли [16] обнаружило возможность двойственной ее постановки при использовании функционалов потенциальной энергии деформаций и объема материала.

Функционал объема имеет вид:

V=π40ld12x1dx1+0hd22x2dx2+μ14Fπφ1d12(x1)+32Fhx1πld13(x1)-σ0+μ24Fhπφ2ld22(x2)+32Fx2πd23(x2)-σ0. (14)

Условие его стационарности представляем в виде:

                                              δV=∂V∂d1x1δⅆx1+∂V∂d2x2δⅆx2+∂V∂μ1δμ1+∂V∂μ2δμ2.                    (15)