Введение. Эффективность эксплуатации инженерных систем зданий существенно зависит от своевременного выявления неисправностей и предотвращения аварийных ситуаций. Современные методы диагностики и мониторинга требуют внедрения новых подходов к оценке надежности и долговечности технических систем [1-3]. Данная статья посвящена разработке математической модели для расчета показателей надежности инженерных систем с учетом особенностей их функционирования и возможных сбоев. Цель исследования - создание универсального метода анализа, позволяющего оптимизировать техническое обслуживание и снизить экономические риски, связанные с выходом систем из строя

В статье [4] проанализирована структура контроля совокупностью насосных агрегатов определённой системы водоотведения, используя регулятор в основе которого лежит нечёткая логика с применением TSK-модели. Создана математическая модель и сделана имитация моделирования системы регулирования агрегатами. Итоги такого моделирования доказывают, что система способна решить задачу, давая при этом возможность практичного поддержания уровня воды в сосудах в рамках установленных пределов.

В работе [5] были проведены эксперименты, на основании которых сделан вывод о том, что использование автоматики в системах отопления сокращает расходы, которые идут на теплоснабжение здания, а также увеличивают комфортную среду помещений.

В статье [6] установлено, что используя модули MagiCAD предоставляется возможность за короткий срок создать чертежи вентиляционных систем. Также сокращается срок черчения инженерных систем и устранения ошибок. Предоставляется возможность сделать необходимые аэродинамические расчёты.

В рамках исследования [7] создана информационная модель функции которой заключаются в управлении вентиляционными системами больших промышленных комплексов. В основе лежит прямое газодинамическое моделирование. В статье также рассмотрена модель информационной системы, предназначенная для численного моделирования движения воздушной среды на большой промышленном здании. Эта модель позволяет решить задачи связанные с проектирование системы вентиляции. Создание инженерной системы основано на модульном принципе.

В работе [8] сделаны следующие выводы: в процессе проектирования любой инженерной сети в BIM - платформах нужно переодически проверять на пересечения, с целью недопущения появления коллизий; специалисты каждого раздела, создавая модель своего блока, обязаны брать в учёт последующую работу других специалистов и сохранять пустое пространство для других разделов; на стадии выполнения работ по монтажу системы нужно руководствоваться поддержкой BIM-отдела.

В статье [9] выявлено для чего создаётся интегрированная система BIM ГИС. Рассмотрены отечественные аналоги ПО. Рассмотрены технологии необходимые для того чтобы осуществлять управление данными BIM объектов инфраструктуры. Исследовано развитие информационных моделей, которые используются для создания цифровых двойников для контролирования всего жизненного цикла инженерных систем водоснабжения и водоотведения.

Авторами статьи [10] опираясь на информационное моделирование проанализировано создание автоматизированного инструмента для формирования схем и графиков для расчёта, а также перечня материалов необходимых для систем водоснабжения и водоотведения. Рассмотрен процесс создания и программирования модуля для расчёта постоянного потребления воды. Полученное автоматизированное решение, даёт возможность специалистам в короткие сроки рассчитать показатели чертежа.

Материалы и методы. Описание жизненного цикла инженерных систем может быть осуществлено марковским процессом с непрерывным временем, т.к. параметры «прошлого», от которых зависит «будущее», могут быть приняты как «настоящее». Система, находясь в j-ом состоянии, с течением времени в непрерывный момент времени может перейти в заранее нефиксированное j-состояние. Переход системы из одного состояния в другое зависит от ряда факторов, в основном, от интенсивности отказа λ(t) и восстановления µ(t). Как известно, интенсивность отказа зависит от вероятности безотказности системы, которая, в свою очередь, зависит от параметров конструкции. Переход в случайные моменты времени из состояния безотказности в отказное и, наоборот, как последовательное однородное событие, называется потоком событий, который выражается интенсивностью λ(t) [11-15].

При длительном времени эксплуатации в системе устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности «уже» не зависят от времени.

Имея в своем распоряжении интенсивности переходов, можно составить и решить уравнение Колмогорова [16], особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являются вероятности состояний системы в определенные моменты времени.

В случае, когда вероятности состояний и их производные равны нулю, то дифференциальное уравнение Колмогорова преобразуется к линейным алгебраическим уравнениям, решениями которых является финальная вероятность состояний. Знание характеристик финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы. При этом возникает вопрос об оптимизации решения, т. е. о выборе путем регулирования оптимальных значений интенсивности переходов.

Регулирование процесса перехода с целью улучшения показателя качества системы входит в задачу марковского процесса принятия решений. Известный метод Ховарда [17] не позволяет решать задачи такого характера, в связи с чем используется итерационный алгоритм параметрических марковских PL-моделей, предложенной в работах [18].

Основная часть. Пусть рассматриваемая стержневая система с n-элементов - x_uv=1,n , время от времени выходит из строя и в последующем восстанавливается. В произвольный момент времени каждый элемент x_u(v=1,n ) может находиться в одном из двух состояний: рабочее (состояние 0) и отказное (состояние 1), кроме невозможного (состояние Ф). В конкретный момент времени возможно одно из двух состояний – множество, которое может быть определено следующим образом:

Предполагается, что элементы инженерных систем периодически раз в год ремонтируются (восстанавливаются), этот промежуток времени выбирается так, что за ∆t время может произойти только одно событие. Каждый элемент x_u характеризуется двумя постоянными величинами λu  и µu  со следующими свойствами. Если в момент времени t элемент находится в рабочем состоянии, то вероятность того, что он требует ремонта до момента t + ∆t равняется λu∆t .

Наоборот, когда элемент x_u находится на ремонте, вероятность того, что время ремонта окончится до момента t + ∆t элемент вернется в рабочее состояние, равняется µu∆t . Можно отметить, что если τu  - среднее время безотказной работы u-го элемента, а ρ  - среднее время ремонта, то:

Предполагается, что переходы системы из одного состояния в другое связаны с возможными затратами на потери несущей способности и на восстановление (расход) и, наоборот, отдачи от эксплуатации системы в безотказном состоянии (доход).

Пусть система находится на S_i-м состоянии и один из работающих элементов отказывает или наоборот отказанный элемент восстанавливается. Тогда система переходит в некоторое другое состояние Si, которое назовем соседним к состоянию и обозначим следующим образом:

eu=0,…,0, 1, 0,…,0,

где n - мерный единичный координатный вектор, у которого u -я координата равна I, остальные равны нулю. u∈ N = 1,2,…n . Если учесть I, то для соседних состояний справедливо одно из следующих равенства:

В этих обозначениях элементы матрицы перехода, описывающие состояние системы, определяются как:

где n - количество состояний; m - количество невозможных состояний.

Предположим, что в любой момент времени, когда система находится в некотором состоянии S_i∈ S и способствует получению «дохода» или наоборот требует затрат, если элементы в состоянии отказа. Пусть элемент x_u находится в рабочем состоянии и за ∆t период времени дает доход φu∆t  в денежных единицах, находясь в отказном состоянии, требует расхода φu∆t  . Тогда общий доход системы за ∆t  период времени, получаемый на Si -м состоянии, можно определить формулой.

Имея матрицу перехода А, вводя:

где i = 1, 2ⁿ - m.

Из выражения расход / доход, можно определить для каждого i-состояния Si∈ S соответствующую норме затрат q_i по формуле:

где i = 1, 2ⁿ .

Требуется найти минимально возможное значение общих затрат q, являющееся критерием оптимальности марковских систем, функционирующих на бесконечном интервале времени.

Весь смысл задачи сводится к формированию и решению следующей системы уравнений (8).

где i = 1, 2^{n -m}.

Относительно q и w₁, w₂, … , wjn-m,  полагая, что u2n-m = 0.

Матрицы перехода связана с графом, рассмотренным в статье [19]. На орграфе инженерные системы изображаются окружностями, а возможные переходы – стрелками. Номер каждой инженерной системы соответствует параметру, имеющему идентичный нижний индекс: 1–- электроэнергия; 2 – вентиляция; 3 – водоснабжение; 4 – газоснабжение; 5 – кондиционирование; 6 – водоотведение; 7 – теплоснабжение; 8 – системы безопасности; 9 – отопление.

В результате, можно составить матрицу перехода по следующему правилу. Если на графе имеется стрелка, ведущая из S_i в S_j (связывающая любые две инженерные системы), то значение стрелки является значением dij . Если такой стрелки нет, то S_i = 0. Значение элемента dij  - определяется как сумма всех стрелок, выходящих из состояния S_i, принятого со знаком минус. Пользуясь таким правилом (10) записывается матрица А для комплекса инженерных систем.

где λ1  – вероятность полного отказа определенной инженерной системы в гарантийный срок службы; λ2  – вероятность частичного отказа (50 % функциональности) определенной инженерной системы в гарантийный срок службы; λ3  – вероятность критического отказа (20 % функциональности) определенной инженерной системы в гарантийный срок службы; μ1 , μ2 , μ3  – соответствующие вероятности восстановления полной работоспособности инженерной системы.

Для этой матрицы производительность в течение жизненного цикла определяется:

С учетом (7) и (11) можно получить норму затрат каждого состояния:

Серия уравнений (12-20), определяющая затраты для рассматриваемой задачи, имеет вид:

После этих предварительных выкладок можно перейти к вопросу оптимизации процесса содержания системы.

Предположим, что каждый элемент x может быть изготовлен в нескольких вариантах x_u(v_u), v_u=1, m_u, где v_u - номер варианта u-го элемента. Каждый вариант характеризуется следующими величинами:

λu(vu)  – интенсивность отказа;

µu(vu)  – интенсивность восстановления;

φu+(vu)  – расход при эксплуатации;

φu-(vu)  – расход во время восстановления.

При этом интенсивность λu  для рассматриваемой задачи зависит от сложности комплектации системы. Поэтому следует выбрать такое из числа u=1nmu  при решении θ=(vu,u=1,n) , чтобы общие затраты q были минимальными.

Вопрос оптимизации решения, т.е. выбор значений интенсивности переходов связан с параметрическими марковскими моделями с непрерывным временем (PL - моделями) [18] и может быть решен по следующим соображениям.

Пусть γθ1,θ-(N+1)  – мерный вектор такой, что:

тогда при

получим

Поиск оптимального решения путем сокращения ряда неконкурентоспособных вариантов проводится с помощью параметра γ .

Пусть θ'  – оптимальное решение PL - модели. Тогда:

где Н - множество решений.

Тогда γ  - оптимальное решение, при условии γ(θ',θ)≠0 .

При нахождении g'  - оптимального решения, рекомендуется соблюдать следующие принципы:

1. Преобразуется множество θ'=θ1,…,θR  в множество H=(θ1,…,θR) , так что ƞqθi≥nqθi-1, i=1, R=1 , где θ∈H , а ƞ - мерный вектор - строка, все элементы которого равны I.

2. Пусть для θ',θ∈H  выполняется неравенство γ(θ',θ)≠0 . Если ƞqθ',θ>0 , то предпочтение при выборе варианта отдается решению θ' , иначе ƞqθ',θ≤0 .

Итерационный алгоритм, основанный на этих принципах, имеет следующую последовательность:

1. Для каждого θ∈H  по формуле (9) вычисляется qθ  – вектор «норма затрат», затем множество H преобразуется в множество H .

Вводится величина t = I и полагается, что θ=θ1(θ1∈H)

2. Решается система уравнений (10) и определяются qθ  и wθ .

3. Проверяется условие t = R, если да, то θ  – искомое решение и интеграция прекращается.

4. Принимается, что t = t + I и вычисляется вектор:

и определяется величина ƞγt .

5. Проверяется условие ƞγt>0 . При удовлетворении полагается, что θ=θt  и управление передается в пункт 2, иначе пункту 3.