Введение. При эксплуатации шаровой мельницы опасным сечением днищ является место перехода цилиндрической части цапфы в коническую [1, 2]. Под действием постоянных нагрузок корпуса с мелющими телами и материалом, одновременным действием силы тяжести и вращения за счет момента внешних сил возникает изгиб [3].Цапфа имеет форму полого цилиндра, который защемлен на конце и вращается вокруг продольной оси [4]. Оценка напряженно-деформированного состояния цапфы шаровой мельницы производится на основе математической модели, включающей в себя полную систему уравнений равновесия, определяющих соотношений упругопластического деформирования, учитывающих эффекты циклического нагружения материала, с соответствующими начальными и граничными условиями.Методология. Согласно работам [5, 6, 7], в первом приближении решение этой задачи может быть получено с использованием инженерных подходов на основе простейших соотношений теории упругости, сопротивления материалов и механики материалов [8, 9, 10]. Изгиб вращающейся цапфы обусловлен одновременным действием силы тяжести и вращения за счет момента внешних сил (рис. 1).Вращение при изгибе детали цилиндрической формы приводит к формированию сложного напряженно-деформированного состояния [8]. Моделирование такого процесса требует применения эйлерово-лангранжева подхода, прослеживания истории деформирования материальных частиц, в том числе процесса нагружения и процессов упругопластического нагружения с появлением вторичных пластических деформаций и изменением предела текучести материала, учета особенностей законопеременного деформирования.Основная часть. При наличии зоны пластических деформаций в области высоких значений кривизны продольной оси цапфы, ситуация существенно меняется, поскольку в результате пластического нагружения формируется остаточная кривизна [5, 11]. Оценка напряженно-деформированного состояния цапфы, изогнутого под действием собственного веса и веса корпуса, поворачивающегося вокруг оси, выполняется с привлечением уравнений механики материалов. Для учета динамической нагрузки, возникающей при вращении, применяется принцип Даламбера [5, 12], согласно которому ко всем действующим внешним силам добавляются силы инерции.   Рис. 1. Расчетная схема изгиба и вращения цапфы Уравнение изгиба оси цапфы, учитывающее действие сил инерции (рис. 1), имеет вид [5, 6, 7]:EJd4U(x)dx4=mg+ mω2U(x) ,           (1)с граничными условиямиUxx=0=0,                      (2)dU(x)dxx=0=0,                      (3)d2U(x)dx2x=l=M(x)EJx=l=0,           (4)d3U(x)dx3x=l=q(x)EJx=l=0 ,             (5)где U(x)  – функция прогиба цапфы; x  – продольная координата; J  – геометрический момент инерции объема относительно оси OX, рассчитываемый по формуле:J=R22dV ,                          (6)где R2  – внешний радиус цапфы, V  – объем цапфы; m  – погонная масса, рассчитываемая по формуле:m=mц+0,5∙mк,                   (7)где mц  – масса цапфы шаровой мельницы, mк  – масса корпуса с мелющими телами и материалом; M(x)  – внешний изгибающий момент; qx  – распределенная массовая нагрузка: qx=mg , где g  – ускорение свободного падения.Решение неоднородного дифференциального уравнения (1) четвертого порядка представляется общим решением U1(x)  однородного дифференциального уравнения [12, 13]:EJd4U1xdx4- mω2U1x=0 ,          (8)и частным решением U2(x)  неоднородного дифференциального уравнения:EJd4U2xdx4+ mω2U2x=mg.          (9)Общее решение U1x  уравнения (8) строится в виде [12, 13]:U1x=Aeαx ,                 (10)частное решение U2x  уравнения (2.9) согласно [7, 8] разыскивается в виде:U2x=B ,                      (11)соответствующем виду правой части уравнения (9), где A,B  и α  – искомые константы.Подстановка решения (10) в однородное дифференциальное уравнение (8) приводит к характеристическому уравнению:EJα4Aeαx-mω2Aeαx=0.       (12)Введем обозначениеD4=mω2EJ .                         (13)Исходя из (13), полученное соотношение (12) можно представить в виде алгебраического уравнения четвертой степени:α4=D4 .                        (14)Корни уравнения (14) имеют вид:α1=+D, α2=-D, α3=iD, α4=-iD,    (15)где i=-1  – мнимая (комплексная) единица. Общее решение однородного дифференциального уравнения (8) принимает вид:U1x=A1eDx+A2e-Dx+A3eiDx+A4e-iDx.    (16)Подстановка решения (11) в неоднородное дифференциальное уравнение (9) приводит к уравнению относительно константы B :mω2B=mg.                 (17)Из (17) следует:B=-gω2.                         (18)В итоге решения дифференциального уравнения (1) записывается в виде:Ux=U1x+U2x=A1eDx+ A2e-Dx++ A3eiDx+A4e-iDx-gω2.             (19)С учетом формулы Эйлера [7]: Ux=A1eDx+A2e-Dx+A3cosDx+A4sinDx-gω2 .                                (20) Для нахождения значений постоянных интегрирования A1, A2, A3,A4 используются граничные условия (2) – (5):  Ux|x=0=A1eDx+A2e-Dx+A3cosDx+A4sinDx-gω2x=0=0,dUxdx|x=0=A1DeDx-A2De-Dx-A3DsinDx+A4DcosDxx=0=0,dUxdx|x=0=A1DeDx-A2De-Dx-A3DsinDx+A4DcosDxx=0=0,d3U(x)dx3|x=1=A1D3eDx-A2D3e-Dx+A3D3sinDx-A4D3cosDxx=1=0.                (21) Соотношения (21) являются системой линейных алгебраических уравнений относительно искомых весличин A1, A2, A3, A4: 1A1+1A2+1A3+0A4=gω2,DA1-DA2+0A3+DA4=0,D2eDlA1+D2e-DlA2-D2cosDlA3-D2sinDlA4=0,eDlD3A1-e-DlD3A2+D3sinDlA3-D3cosDlA4=0.                                     (22) Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений (22) с подстановкой всех известных величин позволяет определить постоянные интегрирования: A1 = 28,73588; A2 =53,71975; A3 = 74,50436; A4 = 24,98738.                          (23)Решение (19) принимает вид:Ux=28,73588eDx+53,71975e-Dx+74,50436cosDx+ 24,98738sin(Dx)-gω2 .         (24)Кривизна прогиба осевой линии цапфы определяется по формуле:к=d2U(x)dx2=D228,73588eDx+53,71975e-Dx+74,50436cosDx++24,98738sinDx   (25) На рисунке 2 приведена форма прогиба осевой линии цапфы при ее вращении, на рисунке 3 – кривизна прогиба оси цапфы.    Рис. 2. Зависимость прогиба от продольной координаты OX при действии силы тяжести и вращения на ось цапфы Рис. 3. Зависимость кривизны прогиба от продольной координаты OX при действии силы тяжести  и вращения на ось цапфы   Напряжения, возникающие в цапфе шаровой мельницы, согласно [6] определяются как:σ= E∙k∙R2.           (26)На рисунке 4 представлен график зависимости напряжения цапфы от продольной координаты x , показывающий распределение напряжения по длине внешней цилиндрической поверхности цапфы при действии силы тяжести и вращении.  Рис. 4. Зависимость напряжения от продольной координаты при действии силы тяжести и вращения на ось цапфы  Как видно из рисунка 3, наибольшая кривизна цапфа имеет место в точке x=0:к|x=0=D228,73588eD∙0+53,71975e-D∙0+74,50436cosD∙0+ +24,98738sinD∙0=0,79769      (27)Следовательно, наибольшие по модулю напряжения в цапфе достигаются именно в этом сечении, σmax= E∙kmax∙R2=111676 Па.        (28)Определение величины касательного напряжения от действия крутящего момента Мкр , приложенного к цапфе, выполняется согласно [5, 6, 8]:τ=MкрIpR2,                        (29)где Mкр – крутящий момент шаровой мельницы; Ip  – полярный момент инерции поперечного сечения [11]:Ip=4πR24-R14 ;Для заданных значениях радиуса внешней и внутренней поверхности цапфы и крутящего момента шаровой мельницы, максимальное сдвиговое напряжение определяется величиной:τmax=MкрIpR2=3516 Па. Учитывая сложное напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы, испытывающей растягивающее напряжение от изгибающих нагрузок и сдвиговое напряжение от крутящего момента, эквивалентное напряжение следует определять с использованием понятия интенсивности напряжения σi , определяемого общим выражением [5, 6, 15]: σi=12σx-σy2+σy-σz2+σz-σx2+6τxy2+τyz2+τzx2 .                          (30) Для определения эквивалентного напряжения цапфы в данном случае, формула (30) будем иметь вид:σi=σ+3τx2=0,1118 МПа. Выводы. Получено уравнение изгиба оси цапфы, учитывающее действие сил инерции. Получены зависимости прогиба, кривизны прогиба и напряжения от продольной координаты при действии силы тяжести и вращения на ось цапфы. Определена величина касательного напряжения от действия крутящего момента. Определено общее выражение эквивалентного напряжения, учитывающее сложное напряженно-деформированное состояние цапфы шаровой мельницы, испытывающей растягивающее напряжение от изгибающих нагрузок и сдвиговое напряжение от крутящего момента.