Введение. Использование автономных мобильных роботов для транспортной системы автоматизированного производства обеспечивает высокую гибкость и отказоустойчивость. Одним из наиболее гибких решений является предложенная ранее концепция транспортной ячейки переменной конфигурации (ТЯПК) [1], отличающаяся использованием однотипных роботов для перемещения грузов любого размера и веса. ТЯПК представляет из себя платформу с грузом, которую тянет по заданной траектории группа двухколесных роботов. Наиболее распространенными подходами к коллективному перемещению груза роботами являются caging (окружение груза роботами) [2] и помещение груза непосредственно на роботов [3]. Отличием ТЯПК является то, что груз соединен с роботами через стыковочные узлы, выполняющие функцию оси вращения роботов. Это позволяет совершать сложное движение и эффективно распределять нагрузку между роботами, аналогично известным алгоритмам эффективного распределения моментов в электромобилях [4, 5]. Главным критерием таких алгоритмов является отсутствие проскальзывания колес, возникающее из-за превышения допустимой величины силы трения.Целью работы является определение величин поперечных сил реакций колес для синтеза алгоритма эффективного распределения моментов между приводами колес и для построения динамической математической модели ТЯПК и других кинематически схожих систем – например, робота, описанного в работах [6, 7]. Математическая модель должна быть сформулирована таким образом, чтобы ускорения всей роботизированной системы определялись по угловой ориентации колес и величинам тяговых сил, создаваемых приводами.Для упрощения каждый из роботов в ТЯПК представляется как одно приводное колесо, способное вращаться вокруг вертикальной оси, как у робота Лионеля Клавьена [8], а вся ТЯПК в дальнейшем рассматривается как один робот.В робототехнике задачи оценки сил реакций колес преимущественно рассматриваются для skid-steering роботов, имеющих неповорачиваемые приводные колеса [9, 10]. Результаты, полученные в этих работах, неприменимы к ТЯПК, так как skid-steering роботы работают с проскальзыванием колес.Также, оценка поперечных сил реакций колес и создание динамических моделей актуальны для четырехколесного транспорта [11–14], автомобилеподобных роботов [15] и даже при проектировании асфальта посадочных полос самолетов [16, 17]. Однако, в перечисленных работах не учитываются ускорения, возникающие при повороте колес и перемещение мгновенного центра скоростей (МЦС) без изменения расстояния до него. Более того, большинство работ основаны на моделях Дугоффа [18] и LuGre [19] и оперируют величиной «угол скольжения». Эта величина может использоваться для уточнения, но не для определения поперечных сил реакций колес. Далее величина угла скольжения принимается равной нулю для оценочного определения сил поперечных реакций колес.Сумма поперечных сил реакций колес. Аналогично методу, описанному в [20], суммарная приведенная сила реакций колес определяется через уравнения статики. Рассматриваются только силы и моменты, действующие в горизонтальной плоскости, величина крена принимается равной нулю. Величины ускорений определяются исходя из закона сохранения энергии и кинематических ограничений.  ,                                                 (1) ,                                        (2) где n – количество приводных колес робота; m – масса робота с грузом; I – приведенный к центру масс момент инерции робота с грузом; v – линейная скорость робота; ω – угловая скорость робота; ri – вектор положения i-го колеса относительно центра масс C; Fi – линейная сила, создаваемая приводом i-го колеса; Freact i – поперечная сила реакции i-го колеса; Froll – приведенная сила сопротивления качению; Mroll – момент относительно центра масс, создаваемый приведенной силой сопротивления качению; F – приведенная сила, создаваемая приводами и силой сопротивления качению; T – приведенный момент относительно центра масс, создаваемый приводами и силой сопротивления качению; Freact – приведенная сила, создаваемая силами реакций колес; Mreact – приведенный момент, создаваемый силами реакций колес (рис. 1).  Рис. 1. Векторы сил, моментов и скоростей Чтобы вычислить величины Freact и Mreact, их можно представить как сумму сил и моментов, обеспечивающих соблюдение кинематических ограничений: ,                 (3) ,                     (4)где Ff  и Mf – сила и момент, возникающие от сил тяги Fi, создаваемых приводами и силы сопротивления качению; Fc – сила, обеспечивающая центростремительное ускорение; Fr  и Mr – сила и момент, вызванные изменением расстояния R от МЦС до центра масс C; Fd­­ – сила, вызванная смещением МЦС без изменения расстояния до центра масс. Сила Fc является общеизвестной и определяется по формуле: ,                            (5)где R – вектор от мгновенного центра скоростей до центра масс.Сила и момент, вызванные силами тяги приводных колес. Исходя из кинематических ограничений, сила Ff и момент Mf, создаваемые реакциями колес, должны быть такими, чтобы линейное ускорение робота a было коллинеарно вектору скорости v и было связано с угловым ускорением e соотношением R×e = a. При этом величины ускорений определяются как ; .              (6)Момент, создаваемый приводами колес и силами сопротивления качению, относительно МЦС: .                        (7)Угловое ускорение робота относительно центра масс равно угловому ускорению относительно МЦС, которое вычисляется через приведенный момент инерции: .                         (8)Из уравнений (6), (7), (8) и соотношения R×e = a определяются значение Mf и Ff: ; .              (9)Сила и момент, вызванные изменением расстояния до МЦС. Колеса робота могут поворачиваться в процессе движения, изменяя расстояние до мгновенного центра скоростей. Величины Fr и Mr должны быть такие, чтобы соблюдались закон сохранения энергии и соотношение v=Rω: ; ,               (10) .         (11)Решение этих уравнений зависит от величины dR/dt, которую проблематично вычислить при переходе МЦС через бесконечность. Эта проблема поднималась в работе [21], однако предложенный способ ее решения является весьма трудоемким.В связи с этим, предлагается представить кинетическую энергию в векторном пространстве. Пусть в трехмерном пространстве имеется вектор Eks с длиной, равной квадратному корню кинетической энергии (рис. 2). Проекции такого вектора на оси позволяют определить скорости движения системы в направлениях X, Y и скорость вращения системы вокруг оси Z. ,   (12) .(13)  Рис. 2. Представление кинетической энергии в векторном пространстве Ускорения, сила и момент определяются дифференцированием линейной скорости движения робота, выраженной через угол y: ; . (14)Сила, вызванная смещением МЦС. Для определения силы Fd предположим, что колеса робота поворачиваются таким образом, чтобы сместить мгновенный центр скоростей на угол dα за время dt без изменения расстояния R. Тогда, направление вектора скорости v (рис. 3) и вектора Ekv (рис. 2) также должны повернуться на угол dα. Угол dα считается малым, поэтому v(t+dt)=v(t). Чтобы перечисленные условия соблюдались, сила Fd должна быть равна: ; ,                (15)где Mrot – матрица поворота вектора на заданный угол. Рис. 3. Изменение направления движения системы В глобальной системе координат необходимо учитывать скорость вращения робота: .            (16)Поперечные силы реакций каждого колеса. Определение поперечных сил реакций каждого из колес Freact i необходимо для исследования движения многоколесных систем. Допускается, что движение происходит без возникновения проскальзывания. В существующих исследованиях поперечных сил реакций колес (например, у Jun Yang [22]) рассматривается транспорт с конкретным, заранее известным расположением колес, что позволяет использовать допущения, применимые только к одному частному случаю. Если количество приводных колес n больше трех, и их расположение произвольное, задача становится статически неопределимой с точки зрения классической механики. Для транспорта с эластичным покрытием колес (резина, полиуретан и др.) допустимо принимать, что сила поперечной реакции колеса пропорциональна деформации эластичного слоя (рис. 4). Это тождественно закреплению каждого колеса на пружине в поперечном направлении. В дальнейшем система рассматривается в псевдостатическом состоянии.  Рис. 4. Модели колеса и робота Поперечные силы реакций колес вызваны малым смещением робота Δ: .                             (17)Геометрически возможно определить проекцию смещения центра колеса на его поперечную ось (рис. 5). Учитывая малость угла дельта фи, получим:  ,                        (18) где rwX i и rwY i – положение центра масс робота в системе координат, связанной с колесом: ,    (19) .     (20)  Рис. 5. Геометрические параметры положения и смещения колеса  Вектор силы реакции Freact i : .                    (21)Пусть имеется некий вектор Di, включающий в себя силу Freact i и создаваемый ей момент Mreact i. Сумма векторов Di будет равна сумме сил и моментов, определенных уравнениями (3), (4).  ,                                                           (22) .                                (23) Введем матрицу P размером 3×3×n, включающую в себя часть выражения (23) с информацией о расположении и ориентации колес. Матрица kΔ и силы поперечных реакций каждого колеса определяются из выражений (25) и (26) соответственно. , (24) ; ,   (25) .                      (26)Если определитель матрицы P близок к нулю, значение kΔ возможно приближенно вычислить с помощью алгоритмов поиска локального минимума. В качестве начального значения для поиска берется предыдущее вычисленное значение kΔ.Применение метода определения поперечных сил реакций колес. Предложенный метод возможно использовать для определения оптимальной ориентации робота при движении по траектории или сравнения эффективности алгоритмов распределения нагрузки между приводами. Для симуляции использовалась динамическая математическая модель, построенная на основе выражений (1), (2), (3), (4) и модель системы управления, описанная в [1]. Колеса расставлены по углам прямоугольника размером 3м × 1м. Во избежание резких изменений скоростей и ускорений траектория задана сплайном Безье 4го порядка.Масса робота с грузом m=1000 кг; момент инерции робота с грузом I=1000 кгꞏм2; приведенная сила сопротивления качению Froll=200 Н.В среде Simulink проанализированы четыре варианта движения по траектории: ориентация А - с начальным угловым положением 0° (рис. 6, а), ориентация Б - с начальным угловым положением 90° (рис. 6, б) и с двумя различными принципами распределения нагрузки между приводами. В первом случае нагрузка равномерно, во втором - исходя из кинематики движения, когда каждый привод стремится поддерживать заданную скорость вращения колеса с помощью П-регулятора: .             (27)  Рис. 6. Траектория движения:а) с начальным угловым положением 0°; б) с начальным угловым положением 90° Варианты движения сравниваются по критерию максимальной возможной скорости движения без потери сцепления между колесом и полом. Сила трения каждого колеса Ffr i является суммой поперечной силы Freact i и силы Fi, создаваемой приводом. Итерационно определяется такая скорость движения робота, при которой сила трения любого колеса не превысит 122Н. При равномерном распределении нагрузки между приводами максимальные скорости движения составляют 1,16 м/с для ориентации А и 1,43 м/с для ориентации Б. При распределении по кинематическому принципу – 1,28 м/c и 1,36 м/с соответственно. Для примера на рисунке 7 приведены графики поперечных сил и сил трения при ориентации А. Скачок сил реакций колес 1 и 2 вызван быстрым поворотом колес для перехода от прямолинейного движения к движению по дуге.Различие между максимальными скоростями самого эффективного варианта движения (ориентация Б и равномерное распределение нагрузки) и самого неэффективного (ориентация А и равномерное распределение нагрузки) составляет 23 %. Такое различие значительно для автоматизированных транспортных систем.  Рис. 7. Результаты симуляции для ориентации А: а – поперечные силы, при равномерном распределении;б – силы трения между колесами и полом, при равномерном распределении;в – поперечные силы, при кинематическом распределении; г – силы трения между колесами и полом, при кинематическом распределении Также, описанный метод определения поперечных сил, действующих на колеса, в перспективе может быть использован для синтеза оптимального алгоритма распределения нагрузки между приводами.Заключение. Метод определения поперечных реакций колес может быть использован для увеличения скорости движения многоколесных систем посредством синтеза рационального алгоритма распределения тяговых усилий между приводами колес. Также, он позволит проводить сравнение роботов с различным расположением приводных колес и сравнение траекторий и законов изменения углового положения системы по критериям пиковых величин поперечных сил и отсутствия проскальзывания. Известные зависимости сил поперечных реакций и скоростей поперечного смещения колес, такие как модель Дугоффа и другие, оперирующие углом скольжения колеса, могут быть использованы для получения более точных результатов.Использованная в работе формализация векторного пространства для представления кинетической энергии позволит упростить создание систем управления и моделей, оперирующих положением мгновенного центра скоростей.